94 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



et la conique inverse si n, v, w satisfont à l'une des conditions: 



U 1 -j- V 2 + IC~ -\- %UVW — 1, 



i+i + ± + _L =1 , 



u 2 v 2 iv- uvw 



les vingt points remarquables de la cubique (5) sont ABC, <x[3y, a'p'y', II', U 

 et son inverse V, les points de rencontre des bissectrices de ABC, et les 

 points de rencontre de AU, BU, CU avec les côtés de ABC. En ABC elle a 

 pour tangentes respectives VA, VB, VC. Deux propriétés remarquables 

 distinguent cette courbe. 



Théorème. — La cubique des vingt points est le lieu des sommets des sys- 

 tèmes isogonaux de même pôle U. 



Car LM.N étant trois paramètres donnés, qui déterminent le pôle U, les 

 systèmes a[3y, a'p'y', correspondants à ce pôle, sont obtenus au moyen des 

 valeurs de u, v, w racines des équations : 



u — viv v — wu w — uv 



L ~ M = N ~ lî 



pour chaque valeur de A, u satisfait à l'équation du 5 e degré : 



(1 — w 2 ) 2 (u — XL) — À 2 (M + Nu) (N H- Mm) = 0. 



v, w satisfont à des équations analogues. Les points a t 3y, a'p'y' sont donc 

 sur la cubique de vingt points : 



Lx (y* — z 2 ) -f My (s 2 — x 1 ) + Nz (x* — y 1 ) = 0, 



qui passe aussi d'ailleurs par I et 1' car : 



lu („« _ W 2) 4- My {w 2 — u 2 ) + Niv (u 2 — v 2 ) = 0, 



puis par U et V puisque son équation est satisfaite par les coordonnées 

 de ces points. Cette cubique est ainsi déterminée par les sommets ABC, 

 avec leurs tangentes VA, VB, VC, les points U, V, les trois points de ren- 

 contre de AU, BU, CU avec les côtés du triangle, et les centres des quatre 

 cercles tangents à ces côtés. Pour construire un des systèmes isogonaux 

 de pôle U, menons par ce point une sécante coupant la courbe en I et l' ; 



