P. BARBARIN. — SYSTÈMES ISOGOXAUX DU TRIANGLE 93 



et la cubique (4) les contient si : 



ABC D 



U + VW V + wu w — uv — 2 (t + UVW) ' 



2° p pair. — Les conditions précédentes sont respectivement remplacées 

 par : 



ABC 



U + YW V + WU — W + UV 

 pour la cubique (3) 



et • A B C D 



P ai • u — VW ~~ V — WU *~ W — UV ~ 2 (— 1 + UVW) 



pour la cubique (4). Dans ce cas (3) et (4) renferment également les 



/ 1 1 1 \ 



sommets des systèmes conjugés ( — u — v — w) et ( ) • 



\ u v w] 



D'ailleurs, quel que soit p, (3) contient toujours les quatre centres de 



cercles tangents aux côtés de ABC, ainsi que les centres I, l' des systèmes 



Cubique des vingt points. — On donne ce nom à la cubique (3) quand 

 p = 1. Son équation est donc: 



(u — vw) x (y 2 — z*) + (v— wu) y (z 2 — x*) + {w — uv) z (.r 2 — ?/ 2 ) — 0, (5) 



en même temps la cubique (4) devient: 



(u + vw) x {if + z*) + (v + wu) y (z 2 + x 2 ) + {w -j- uv) z (x 2 + y 2 ) 

 + 2 (1 + uvw) xyz = 0. (6) 



D'après ce qui a été remarqué plus haut, la cubique (o) ne devient un 

 système de droites que si: 



m u = zh. v = zh w, 



tandis que la cubique (6) se décompose en la droite : 



+ ; ^L,_^ = o, 



u -\- viv v -f- uu> >v -{- uv 



