92 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Le premier groupe montre que la conique est formée des droits Cj3ya', 

 Cp'y'a. I coïncide alors avec a, et I' avec a' ; de plus, a coïncide avec y', 

 et y avec a'. 



Le second groupe montre que (5, [3', y, y' sont sur l'une des bissectrices de 

 l'angle A ; cette ligne et a, a' forment la conique cherchée. 



Les neuf points a, p, y, a', p', y', A, B, C, sont généralement sur une même 

 cubique : 



On sait que les cubiques 



Ax (f — s 2 ) + By (z* — a; 2 ) + Cz (a 2 - y 2 ) = 0, (1) 



Ax {if 4- s 2 ) + By (s a -+- a; 2 ) + Cz (a; 2 + y 2 ) + Dxyz = 0, (2) 



ont la propriété de renfermer à la fois un point M (xyz) et son inverse 



/l 1 1\ 



NI ) > et que ce sont les seules. En posant: 



\xyzj 



X =• xp Y = yP Z = zp 



on a des cubiques potentielles de degré p (entier). 



AX(Y 2 — Z 2 ) + BY(Z 2 — X 2 ) + CZ(X 2 — Y 2 ) = 0, (3) 



AX(Y 2 + Z 2 ) + BY(Z 2 + X 2 ) + CZ(X 2 + Y 2 ) -f DXYX = (4) 



qui jouissent de la même propriété. La première est toujours indécompo- 

 sable, sauf si A 2 = B 2 = C 2 ; dans ce cas particulier, elle se réduit au 

 système de trois bissectrices concourantes du triangle ABC. 

 La deuxième se dédouble lorsque : 



D = ABc(I + i i + i) > 



en la courbe de degré p 



A ^ B ^ C 



et la courbe inverse de degré 2p 



1 1 1 

 AX ^ BY ^ CZ 



1° p impair. — En posant up = U vp = V ici' = W, la cubique (3) 

 contient a(3y, a'p'y' et ABC pour 



A B C 



U _ VW — V — WU W — UV 



