I». BARBARIN. — SYSTÈMES 1S0G0NAUX DU TRIANGLE 91 



On a aussi, a, b, c désignant les trois côtés du triangle ABC : 



t 



UI au -\- bv + civ UT au -\- bv -j- cw 



UI' avw + bwu -f- cuv ' UT avw -\- bivu + cuv 



donc UI, UT sont harmoniquement conjugués. 



Aux systèmes qui viennent d'être envisagés se rattache une infinité 

 d'autres systèmes jouissant de propriétés analogues. Si U, V, W sont trois 

 fonctions déterminées de u, v, w, elles font connaître deux centres I 1 , IJ et 

 deux pôles U, , U< conjugués harmoniquement. 



Si ^=,l=- = k, 



U V w 



L, et \\ coïncident avec I et Y ; puis: 



u, i i ui u; i îu'i 



v^Y~ï\^Y , u; i'-^ut' 



si Uw = Yv = Ww = k, 



l A et Y A coïncident avec Y et I ; puis : 



u ( r_ ui u; y _ ,, u / 1 



Ù7T ur' u; 1 ut' 



Les six sommets a, fi, y, a', fT, y' ne so/^ pas généralement sur une même 

 conique. 



Toute conique contenant les six points est représentée par l'équation : 



W) M + * (y + «*)(* + w 2/) = o. 

 avec les conditions: 



{v + mu) (w + w) [x — (1 — V) (1 — ^t; 2 )] = 0, 

 (v 4- uw) (w + uv) [X — m 2 (1 — i' 2 ) (1 — w s j] = 0, 



qui expriment qu'elle passe par a et a'. Ces conditions sont satisfaites si 



( V + UW =r 0, U J =1, 



S OU < ,. 



j l0 4. Wî> = 0, ( X = (1 — v') (1 — w s ). 



