90 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Leurs centres sont également I et F ; leurs sommets sont conjugués de 

 a, p, y et a', (3', y' sur les lignes qui joignent ceux-ci à A, B et C ; soient dé- 

 signés ces sommets par a", (3", y" et a'", (3'", y"'. 



Théorème : 1° a-/, (3(3', yy' soytf convergentes en U ; 



2° a"a'", |3"(3'", y r 'y'" son£ convergentes en U' ; 

 3° UI, UT forment une division harmonique. 



aa', (3(3', yy' ont pour équations respectives 



(y* — w *) X + (l> 2 — 1) W(/ -f (1 — W 2 ) V3 = 0, 



(1 — w 2 ) >/•# + (w 2 — m 2 ) y + (w 2 — 1) us = 0. 

 (u 2 — 1) vas + u (1 — u 2 ) y + (m 2 — y 2 ) - = 0. 



le déterminant des neuf coefficients est nul. Elles sont donc convergentes. 

 Il en est de même pour a'V", [3"(3'", y "y"'. En éliminant x entre les 

 équations de ou' et (3(3' on a l'équation de AU : 



(w — uv) y — ■ (v — uv) z = ; 



x _ y _ g 



donc 



déterminent les coordonnées de U. Elles vérifient l'équation de II' : 



u (v 2 — w 2 ) x-hv (w 2 — u 2 )y + iv (u 2 — v 2 ) z ' = ; 



et il en est de même pour les coordonnées de U' : 



x y . s 



u -\- vw v -\- KM w -\- uv 



Du reste, pour prouver que II' contient U, on peut raisonner ainsi : 

 I, y', (3' forment un système isogonal qui a a pour centre ; F, y, (3 en forment 

 un deuxième dont le centre est a'; donc IF concourt avec (33' et yy', 

 c'est-à-dire passe par U. Les huit points aa', (3(3', yy', IF peuvent, de 

 quatre manières différentes, s'échanger entre eux, et les deux points de 

 chaque couple s'envisager comme centres des systèmes formés par les six 

 autres. Mais toutes les combinaisons donnent le même point U, que nous 

 appellerons pôle. La définition du pôle U' des systèmes conjugués se fait 

 de même. 



