88 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



On n'a d'ailleurs aucun terme de degré >> p — 1, puisque e n _ i = 

 pour n — 1 < 0, ni aucun terme de degré < i\ — 1, puisque e n _ i = 

 pour p — i\ < n — 1. Dès lors, pour vérifier (24), il suffit de s'assurer 

 que: 



K"-(p-n) ri - 1 -(p-n-l) ri - 1 C; t _ 1 + . . . +(-l) ri -'(p-n-r l + lp-'C r i -\ 



quand n est égal à 1, 2, . . . , p — r t -f- 1, ou, en posant : 



p — n = r x — 1 -f- /, 

 que: 



r=(-ir'- i ^- , c;:;i; +(-i) r, - 2 a+i) ri - , c;:;i;4- • • . +(r 1 +*-i) f ' i - H 



quand t = 0, 1 , . . . , p — i\. 



Or je dis que le second membre a la même valeur, quel que soit /. 

 En effet, on a, en le désignant par r^(t) : 



,(* + 1) - 7i(0 = (r, + tf^ - (C;. _, + i)(r, + « - l)'' 1 - 1 + • • • 

 + (- !)*((*__ + C^)(* + r.-kf^ + ...+(- i) T % i - , / i -\ 



ou, d'après : 



rt + 1) _ n(t) = {r, + o 7 ' 1 -' - c;, (r x -i- * - îy- 1 + . . . 

 + (— i) ri_1 c;:;- l (7 + iy~ 1 + (— îyc;: 1 / 1-1 - 



On sait que f ,— ' est le terme général d'une suite récurrente d'équa- 

 tion génératrice [x — l)' 1 — 0, la loi correspondante étant irréductible 

 pour cette suite. Donc: 



1l(/ + 1) - 7l(0 = o. 



en sorte que -(\{t) = K" est indépendant de t. 



Enfin, on a K" =(= 0, sans quoi la suite de terme général f l ~ i satisferait 

 à une loi d'ordre •< i\; K" est d'ailleurs indépendant des X, et ne dépend 

 que de r, ; donc, d'après la valeur de 3 , K est =j= et ne dépend que 

 de r v r 2 , ... 



Le lemme se trouve ainsi établi. 



