ED. MAILLET. — SUR LA FORMATION DES NOMBRES ENTIERS 85 



les formules (7), quand on y fait 6 t = 0, satisfont à la loi d'équation 

 génératrice : 



m . ' A = °- 



Prenant dans A une colonne autre que la première, par exemple celle 

 dont les termes ont pour coefficient c s dans (11), ses termes font partie 

 de la suite récurrente obtenue en faisant tous les coefficients b, c, ... nuls, 

 sauf c s , et par suite satisfaisant à la loi d'équation génératrice (17). On 

 aura donc la relation : 



(18) 



où s = si r 2 > s, e = 1 si i\ = s. 



Transformons alors o +1 , quand) < p — 1 en y retranchant de la der- 

 nière ligne chacune des précédentes multipliée par un nombre convenable, 

 à savoir d t pour celle qui contient ^~'~'(p — t — l) r,-s : les termes de 

 la dernière colonne deviendront, d'après (18), puisque c'est la ligne (15) 

 de A qui manque dans S, , , : 



(19) d p _ { _fy^, d^if,-*, ...,d p _ i _^:j,d p _ i _^, ... 



On en tire immédiatement : 



(20 s /+ , = (-ir 2 -H^^- 



o étant un déterminant de même forme que A, mais avec une colonne 

 de moins on aura, par hypothèse : 



o^ = K'X^...p 2 -X 3 p,.., 

 où K' =(= 0, et indépendant de \, X 3 , ... D'ailleurs (14) et (20) donnent: 



a = (- ir'^r - «vr - • • • - ^ a - d P A ■ 



et, pour que (13) ait lieu, il suffit qua une constante près =|= la paren- 

 thèse ait pour valeur (X x — X a ) r3 (A 1 — X 3 )'' 3 ... ; les égalités (16) et (17) 

 montrent immédiatement qu'il en est ainsi. 



