84 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



et ces formules peuvent conduire à la considération du déterminant : 



(12) A = 



o ,o ,...,i ,0 ,0 ,...,i , 



X, , >., , ■ • ■ , >1 , >- 2 > *s • • • ■ ' *» ' 



x^- 1 ,^'- 2 ,...,>» ^l?*- 1 ,>.^- 2 ,...,>* , 



qui se réduit à un déterminant de Vandermonde quand r 1 =r., = ... 

 = 1, c'est-à-dire quand (2) a ses racines distinctes. La valeur de ce 

 déterminant est donnée par le lemme suivant : 



Lemme (*). — Le déterminant A a pour valeur : 



(i3) a = kxT^T" 2- ... (x, - x 2 )^(^i - ^r 3 • • • (\ - w 



où K est une quantité 4= fonction de p, i\, r 2 , . . ., mais indépendante 



de \, a 2 , . . . , \ . 



En effet, on vérifie sans peine l'exactitude de cette expression pour les 

 petites valeurs de p. Admettons donc que (13) soit exact pour tous les 

 déterminants de la forme A et de côté < p — 1 , et montrons qu'elle 

 l'est pour A. 



Nous distinguerons deux cas, suivant que i\ = 1 ou i\ > 1. 



Premier Cas : r y = 1 . — En développant A par rapport aux éléments 

 de la première colonne, on aura, si 8^. est le mineur du premier ordre 

 de A obtenu en supprimant la première colonne et la / m8 ligne : 



(14) A = 8, 4- (- Xi)*, + •••+(- K) P ~X> 

 Considérons o +| formé en supprimant la première colonne et la ligne: 



(15) A p AJ . A.J , . • • , A 2 , . . . 



On sait que les formules (7) satisfont à la loi de récurrence (1). Posant : 



( i G) J^L = x p-< - d^- 1 - . . . - d = }(x), 



Ou ~ ~ A » 

 (*) Il est bien évident que la démonstration de ce lemme ne suppose pas a l} tf a , . .., a p rationnels. 



