ED. MAILLET. — SUR LA FORMATION DES NOMBRES ENTIERS 83 



dont la condition (10) contre l'impossibilité pour n assez grand, quand 

 X>1. 

 Il faut donc X = 1 . 



Deuxième Cas : X = 1. — L'équation (2) étant supposée avoir ses coef- 

 ficients entiers, on en conclut d'abord que a = ± 1 , ensuite que toutes 

 les racines de (2) ont pour module l'unité. Or, Kronecker a établi (*) que, 

 dans ce cas, l'équation (2) n'a pour racines que des racines de l'unité, 

 satisfaisant toutes, par suite, à une môme équation : 



? - 1 = 0, 



h étant un entier convenablement choisi. 



En prenant alors dans la suite (1) les termes de h en h à partir du 1 er , 

 du 2 e , . . . , du h' ém ' respectivement, on obtient h suites récurrentes (**) 

 ayant pour équation génératrice (x — l) 9 = 0, où p <yj est l'ordre de 

 multiplicité maximum des racines de (2). Nous savons d'ailleurs que p>2. 



Remarque I. — Nous avons supposé que (2) avait ses coefficients 

 entiers. Si par hasard, en admettant que cela soit possible, (2) avait des 

 coefficients fractionnaires, les raisonnements qui précèdent montreraient 

 seulement que les racines de (2) ont leurs modules < 1, qu'il y en a 

 effectivement dont le module est = 1, et que, parmi ces dernières, il y a 

 au moins une racine double. 



Remarque II. — Les formules (7) et (8) donnent pour n 

 p — 1 : 



0, 1, 



x n = 



b. 



, = *,(*, + h + • • • + b,,) + > 2 (c, + c 2 + . . . + c r J + . . . 

 2 = lp r ^b { + 2'-'-*6 2 + . . . b rl ) + 1\(V^ Ca + 2'-^ 



wl + ••• + <)+ ... 



X p _, = V>-\{ P - ifr*b A + (P - l) r >-\ + . . . + b ri ] 



+>r < [(p-i) ri " 1 c 1 j r(p-ir--\-h . . . +c r j + . . . 



(*; J. fitr Math., t. 53, p. 173. 



(**) Nouvelles Annules, 1895, pp. 473 et sui 



