82 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



n + % • • • , n + f, f étant le nombre des termes de S t , et où r h y (1 , 

 . . . , tj, sont < k, en valeur absolue. 



Si d'abord S 2 4= 0> ces équations ne sont compatibles que si le déter- 

 minant : 



M = 



1 1 



e fry-fr 



- S 2 + 7] 



- S, 4- ii 



— S. 4- 7i. 



S 2 4- 'V 



= 0, 



Or, si l'on désigne par L le déterminant de Vandermonde, 



1 1 



e T1 ' e 



^'W :i ' 



qui a une valeur finie et déterminée 4= 0, on aura : 



M 



± ls 2 4- -nA - 7,-A + . . . -f -^A , 



où A, A t . . . . , A, ont des valeurs finies et déterminées, ainsi que S 2 ; 

 on en conclut de suite qu'on ne peut avoir M = 0, si l'on a choisi k 

 assez petit, et, par suite, qu'on a une infinité de valeurs de n pour 

 lesquelles \S t -f S 2 | > k, k étant fini et déterminé. 



Si S 2 = 0, les / premières équations (23) suffisent à montrer que 

 c" Tl '. . . . seraient, pour n assez grand, aussi petits qu'on veut, quel que 

 soit n, ce qui est absurde, et l'on arrive à la même conclusion. 



Dès lors, il y a des valeurs de n aussi grandes qu'on veut pour les- 

 quelles : 



(10) 



|*„| = ï n n'-\k' 4- O, 



où K — |S t 4- S a | est fini, et où s' est aussi petit qu'on veut. En rai- 

 sonnant pour une de ces valeurs comme nous l'avons fait à propos des 

 progressions géométriques, on est conduit à une inégalité analogue à (6) : 



Ci + 1)(»Ih + D ^. + • • • + D «+0 > Kl - N + *' 



