ED. MAILLET. — SUR LA FORMATION DES NOMBRES ENTIERS 81 



Soit : 



Tl (n) = btf^ + b % n r ^ + • • • + 6 n , 

 (8) ft (n) == cX l_1 + c 2 w ra - 1 + . . . + c, , 



Considérons, parmi les racines de (2) , celles dont le module est maximum, 

 et soit X la valeur de ce module; parmi ces dernières racines, prenons 

 celles X l5 X„ X„ . . ., dont l'ordre de multiplicité est maximum; soit p cet 

 ordre. Les premiers termes des expressions correspondantes Xfy^n), X£(p 2 (n), 

 XJ? s (n), . . . donnent dans x n la somme : 



6,rt; + e^x; + ft»'- | x; + . . . 



Si une de ces racines est réelle et = X, nous supposerons que ce 

 soit X 8 . Pour les autres on aura: 



X, = Xe Ti \ \ = le~ Tli , . . . 



puisqu'elles seront conjuguées deux à deux. Donc x n contiendra la 

 somme X"n rH (S I + S 2 ), avec: 



S a = g ou S 2 = 0, suivant qu'une de ces racines 



est ou non = X, • 



S, = b Y ë 1 ^ + Cl éT nTli + . . . - 



S t se rapportant à celles de ces racines qui sont =f= X. 

 Nous distinguerons alors deux cas, suivant que X > 1 ou X = 1. 



Premier Cas : X> 1. — Je dis qu'il y aune infinité de valeurs de n pour 

 lesquelles |S t + S 2 | > k, k étant une quantité finie, déterminée, conve- 

 nablement choisie. Car, s'il en était autrement, on aurait, pour n assez 

 grand : 



V^ + cxf* + • • • = - Sa + -n, 



b x é** . e- 1 + Cl e n ^ . e~^ + ...= — S» + i lf 

 b^ . (M + c^ . e'^ + . . . = - S a '+ ij p 



équations qui se déduisent de la première en y remplaçant n par n + U 



6* 



