80 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



il faudrait, puisque le nombre des nombres satisfaisant à (o 



[afrl-N + l, 



(6) (t, + 1)(D,\ +1 + D* +1 + . • • + D«f0 > M ~ N + L 



Le premier membre de cette inégalité étant un polynôme entier en n 

 à coefficients finis, on sait que, si |a t j;>l, on peut toujours prendre ri 

 assez grand, N étant fini, pour qu'elle soit impossible; il faut donc: 



En prenant alors dans (3) les termes de deux en deux à partir du pre- 

 mier et du deuxième respectivement, on obtient deux progressions géomé- 

 triques d'équation génératrice x — a\=. x — 1 — 0, ce qui établit le 

 théorème pour les suites du premier ordre. 



Cas général. — On doit remarquer d'abord que si la suite proposée, 

 de loi (1) et d'équation génératrice (2), ne contient qu'un nombre limité 

 de termes différents, la somme des valeurs absolues de 8 termes au plus 

 de la suite et de v) unités au plus est toujours finie. On en conclut : 



Lemme. — L'impossibilité de la propriété supposée est absolue pour 

 toute suite qui ne comprend qu'un nombre limité de ternies différents. 



Par suite, d'après ce qui précède, la propriété est absolument impos- 

 sible pour les progressions géométriques. 



Si alors X 1} X 2 X sont les racines distinctes de (2), en nombre 



q < p, on a : 



(7) x n = X* 9i {n) + X» 92 (n) + . . . + l n q?q (n), 



où ^(ft), «p a (»), • • • , ?,("■) sont des polynômes de degrés /\ — 1, r % — 1, 

 .... r — 1, si ?"j, r 2 , .... r sont les ordres de multiplicité respectifs 

 des racines X 13 > 2 , . . ., X . 



La loi considérée étant irréductible pour la suite, le coefficient de n Ti ~ i 

 dans (fjin) sera =f= 0, quel que soit i. De plus, la suite considérée étant 

 formée de nombres entiers ne renfermerait qu'un nombre limité de 

 termes différents, si toutes les racines X l5 X 2 , ..., X avaient leurs mo- 

 dules <C 1 • Si donc nous supposons que la propriété en question soit 

 possible pour la suite considérée, nous devons admettre, d'après le lemme 

 précédent, qu'une des racines a son module > 1 ,et même que son ordre 

 de multiplicité est supérieur à 1, si aucune des racines n'a son mo- 

 dule >• 1. 



