ED. MAILLET. — SUR LA FORMATION DES NOMBRES ENTIERS 79 



qu'en prenant dans la suite les ternies de h en h (h étant un entier !> 1 

 convenablement choisi), à partir du 1 er , du 2 e , ...,du fr" respective- 

 ment, on ait k suites récurrentes ayant pour équation génératrice com- 

 mune (x — \y = 0, avec p < p. 



Nous traiterons d'abord le cas simple des suites de premier ordre, de 

 façon à indiquer la méthode suivie. 



Cas des suites du premier ordre. — Soit la suite : 



(o) X a , d{X , (IfiCç, .... flj# , .... 



qui est une progression géométrique, d'équation génératrice x — o t = 0, 

 avec(*) a t réel et |o,| > '1, !a suite étant formée de nombres entiers. 



Supposons que la propriété, dont nous voulons établir l'impossibilité 

 en général, ait lieu pour cette suite. Alors, A étant un entier quelconque, 

 il faudra que, pour A > N, N étant fini, on ait : 



(*) A =2 



a^a.',, 



le signe V s'étendant à 5 valeurs de i au plus, et s étant un entier, < t\, 

 o et y; étant finis et déterminés. A serait ainsi, à un nombre uni d'unités 

 près, la somme d'un nombre < 5 de valeurs absolues des termes de la 

 suite. 



En prenant n assez grand, ceci aura lieu pour tous les nombre- A 

 tels que : 



(o) N< A<|a^ |; 



pour chacun d'eux on aura dans (4) i n : ces nombres devront donc 

 s'obtenir tous, au moins une fois, en formant la somme des valeurs 



absolues des u -\- \ premiers termes de la suite (3) là 1, 2 à 2, 



8 à S de toutes les manières possibles en admettant les répétitions, puis 

 ajoutant successivement à chaque résultat 0, 1, 2, . .., r\ unités. Or, on 

 obtient ainsi au plus : 



Cl + 1)(1>,*, +1 + D' B+I + • • • + Dln) 



nombres distincts, les D indiquant des combinaisons avec répétition, et 



(*) Nous désignons par |K|, IL1, ... les valeurs absolues de K, L, ... respectivement. 



