MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. Ed. MAILLET 



Ingénieur des Ponts et Chaussées, à Toulouse. 



SUR LA FORMATION DES NOMBRES ENTIERS PAR SOMMATION DES TERMES 



D'UNE SUITE RÉCURRENTE L I17b . H 12e] 



— Sciincc du 3 avril 1896 — 



On sait que tout nombre entier est la somme de quatre carrés, d'un 

 nombre limité de cubes d'entiers positifs (*), d'un nombre limité de 

 bicarrés (**). Or la suite des carrés, celle des cubes, celle des bicarrés 

 forment des suites récurrentes, d'équations génératrices (x — l) 3 = 0, 

 (x — \y = 0, {x — 1) 5 = 0. On peut donc se demander plus générale- 

 ment si des propriétés semblables existent pour les suites récurrentes 

 formées de nombres entiers, au moins en ce qui concerne les nombres 

 supérieurs à une certaine limite, ou encore pour les suites qu'on en 

 déduit en remplaçant chaque terme par sa valeur absolue. 



Nous allons établir à cet égard le théorème suivant : 



Théorème. — Étant donnée une suite récurrente formée de nombres 

 entiers, satisfaisant à la loi irréductible: 



(*) X n+ P = a &n+p-i + • • • + a p X n> 



d'équation génératrice : 



(2) j\x) = x p — ay- 1 — . . . — a p = 0. 



Si les coefficients a t , ..., a sont entiers, une condition nécessaire 

 pour que tout nombre entier positif, au moins à partir d'une certaine 

 limite, soit, même à un nombre limité d'unités près, la somme d'un 

 nombre fini de valeurs absolues des termes de la suite, est que (2) n'ait 

 pour racines que des racines de l'unité, ou, ce qui revient au même, 



i*j Voir notre communication au Congrès de Bordeaux, lS9ii. 

 (**) Théorème dû à Liouville. 



