É. LEMOINE. — DÉCOMPOSITION D'UN NOMBRE EN SES CARRÉS MAXIMA 77 



Que, à partir dep — 8, les Z sont 1er aines alternativement parGl l et 886; 



Y 4- 2 

 Que l'on a, à partir de /) = 3, Z ,, == JL. ; 



El à partir de p = 3, t p = Y p -f Y /( , . 



Dans Y se trouvent tous les carrés que contient Y , seulement ils y 

 sont pris en situes contraires de cens qu'ils ont dans Y , cela résulte 

 d'ailleurs de la définition des nombres Y et c'est ce que la formule précé- 

 dente exprime. 



Nous pouvons remarquer qu'il y a de curieuses relations entre les X, 

 les Y, les Z et les x, les y et les z. 



Ainsi, à partir de p = l, on a : Y = y -f- 3 ; 



A partir de p = S, on a ; Z ■=. z -\- 2. 



Si l'on décompose en facteurs X les Z, on voit que l'on a : 



^ = 1; Z, = 1.2; Z 3 = 1.3: Z 4 = 1.2.2; Z, = 1.2.3; Z G = 1.-2.7; 



Z 7 = 1.2.43; Z s = 1.2. 1807 ; Z 9 = 1.2. 3263443, etc., où l'on reco- 



naîl les mômes facteurs : 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, etc., déjà trouvés 



pour former h 



3 

 A partir de p = 7 on a : z p — —^.^ . Z ,_ 2 . . . . Z 7 .Z,. 



Nous remarquerons qu'il y a une troisième manière mixte de dé 

 poser un nombre en ses puissances, c'est de prendre les racines » ièm ", 

 soit par excès, soit par défaut à une unité près, en choisissant la plus 

 raprochée du nombre dont on extrait la racine; ainsi, en prenant n = 2, 

 on aura pour le nombre 31 par exemple : 



Décomposition en carrés maxima : 31 = 5 2 -(- 2 2 -j- l 2 -f- l 2 . 

 Décomposition en carrés alternés : 31 = 6 2 — 3 2 + 2 2 

 Décomposition en carrés mixtes : 31 = 6 2 — 2 2 — i'~. 



Mais nous n'avons pas essayé l'étude de ce dernier mode de dé i ion . 



MliUOGKAl'lE 



i p dus des séances do l'Académie dos S :iences de Paris, oct. I8SJ (É. Lemoine). 



Intermédiaire des Mathématiciens, t. I, is'ji, p. 232 É. Lemoine). 

 Intermédiaire des Mathématiciens, t. II, is:<5, p. 2yj (Welsch). 



