76 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



DÉCOMPOSITION ALTERNÉE 



îl y a, dans le même genre, un autre mode de décomposition que nous 

 apèlerons décomposition d'un nombre en ses puissances n ! '"'" s alternées 

 minima. 



Définition. — Soit A un nombre, si l'on a : 



A = <- a>: -f u[! - a'! + a n 5 — . . . ± oj, 



que o i , a 2 , er 3 . . . soient entiers et que a t soit la racine h'"' 5 de A à une 

 unité près par excès, R A étant le reste négatif; que a 2 soit la racine n iêmo de Ri 

 à une unité près par excès, R„ étant le reste: a z la racine n lcme de R 2 à 

 une unité près par excès, etc., a" — a\ + a" — a" -f- a" — . . . ± a", 

 sera la décomposition alternée de A en ses puissances minima, p sera dit 

 l'indice alterné de A. Nous ne nous ocuperons également ici que du 

 cas de n = 2. 



Dans ce nouveau mode de décomposition, nous désignerons par Y, Z, X 

 les nombres analogues à ccus que nous avons apelés y, s, x, dans la 

 décomposition précédente. 

 On a : 



1 = Y, = li 



• 3 = Y 2 = 22—1 

 6 = Y 3 = 3 2 — 2 2 + 1 

 10 = Y 4 = 4 2 — 3 2 + 2 2 - 1 

 26 = Y 5 = 6 2 — 4 2 -f- 3 2 — 2 2 + 1 

 170 = Y G = Ï4 2 — 6 2 + 4 2 - 3 2 + 2 2 — 1 

 7226 = Y 7 = 86 2 — ïl 2 + 6 2 — 4 2 + 3 2 — 2 2 -f 1 

 13053770 = Y 8 = MÛ 2 — 86 2 + I4 2 — 6 2 J- 4 2 _— 3 2 + 2 2 - 1 

 42600227803226 = Y 9 = ÏÏ5268SB 2 — 36Î4 2 + 86 2 — 14 2 + 6 2 — 4 2 -f 3 2 — 2 2 -;- t 

 45369485222H 87377444001770 = Y 10 = 213001 13901 01 4 2 — Y,, 



/Y + ~2 ■'■ 

 A partir de p = 3 on a : Y = I — ^ — ) — Y 



Y 



Y — S 4- 1 



Remarquons que, à partir de jj = 4, Y — 1 est un carré. 

 Que, à partir de p = 7, les Y sont terminés alternativement par 

 et par 770; 



