É. LEMOINE. — DÉCOMPOSITION D'UN NOMBRE EN SES CARRÉS MAXIM Y 7>> 



de p — 7, est terminé alternativement par 22o el par 769, et l'on a, 



z est le plus grand nombre dont le carré entre dans y décomposé 

 en ses carrés maxima ; on a (à partir de ]) — 4) l'équation de récurence : 



* JH *+ 1 -(*P + lj 



z est divisible par z 



y = 2.5 , — 1. 

 Jp p i 



Décomposons en facteurs (qui ne sont pas tous, nécessairement, des 

 nombres premiers) les nombres s qui entrent dans le second membre 

 des y et dont les carrés s'y retrouvent indéfiniment. 



On a, pour les dix nombres z qui entrent dans y 10 ; 



s 1= ; !;«, = !: * 3 = 1; z 4 = 1.2; z 5 = 1.2.2; * 6 = 1.2.2.3; z 7 = 1.2.2.3.7; 

 * B = 1.2.2/3.7.43;^ =1.2.2.3.7.43.1807; *i '== 1.2.2.3.7.43.1807.3263443. 



Nous avons dit que ces facteurs ne sont pas tous premiers, en éfet, par 

 exemple : 1807 = 13.139. 



Remarque. — A partir de z 9 les z se terminent tous alternativement par 

 807 et par 443. 



Si, à partir de p = 5, on considère les facteurs x qui permètent de 

 déduire z. de z,, en multipliant z- par Yx corespondant, on voit que 

 ces facteurs sont : 2, 3, 7, 43, 1807, 3263i43, 10650056950807,... et l'on a : 



^=(^—1)4 + 4- 



En posant œ = i x x = 1, 

 on a : ay = x {i .x i .x.x z , Xj + 1 



Remarque. — A partir de j/ 7 les ?/ se terminent tous, alternativement 

 par 223 et 707. 



Dans la limite des tables de carrés dont on dispose, un nombre A peut 

 se décomposer très rapidement en ses carrés maxima ; en éfet, s'il est 

 entre n % et (n -\- l) 2 , le premier carré de la décomposition de A estn 2 , etc. 



De la décomposition d'un nombre en ses carrés maxima on déduit 

 imédialement le téorème suivant : 



Si 2_, s 2 désigne un carré ou une some de carrés tous diférents entre eus. 

 tout nombre entier est de la forme ^ s 2 -)- p (p = 0, 1, 2, 4). 



