T.-C. SIMMONS. — SUR LA PROBABILITÉ DES ÉVÉNEMENTS COMPOSÉS 3 



minées, quelle est la probabilité pour que leurs trois intersections se 

 trouvent en dedans du cercle? 



Soient A, B, C, les trois cordes. Les intersections en dednns du cercle 

 de BC, de CA et de AB sont trois événements que l'on peut désigner 

 par P, Q, R. La position d'une corde quelconque A n'influe aucunement 

 sur la position de B ni de C ; ainsi l'arrivée d'un événement quelconque P 

 n'avance ni ne retarde l'arrivée de Q ou de R. Conséquemment, selon 

 de Moivre, P, Q, R sont absolument indépendants. La probabilité de P, 



ou de Q, ou de R, comme on voit très facilement, dans chaque cas, =—r • 



Un mathématicien anglais (Math. Quest. f'rom Educational Times, vol. LXV, 

 Q. 12.898, Londres, 1896) a déduit que, par conséquent, la probabilité 



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de l'événement composé PQR=— — - — — = — , et croit encore qu'il a 



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raison. Mais la probabilité exacte devrait être —, comme je vais prouver. 



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Soient U, V, W, X, Y, Z, les six points qui déterminent les trois cordes. 



On peut considérer le problème de deux manières. 1° D'abord, après 



avoir déjà marqué tous les six points, on peut les joindre deux à deux au 



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 hasard. Ici, sur-^-^ - ou quinze façons de joindre, toutes également pos- 

 sibles, une seule donne trois intersections en dedans du cercle, c'est-à-dire 

 le cas où chaque point se trouve joint à son point le plus opposé. La 



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probabilité cherchée donc = — . 2° Au lieu de joindre tous les six points 



au hasard, joignons les deux premiers, U, V. Le troisième point W déter- 

 mine, avec U, V, trois arcs sur chacun desquels le quatrième point X 

 peut se trouver avec probabilité égale ; la probabilité pour que X se trouve 



sur l'arc opposé à W est donc—. De la même manière, le cinquième 



point Y étant marqué, la probabilité pour que le sixième point Z se trouve 



1 

 sur l'arc le plus opposé à Y est — . Par conséquent, la probabilité de trois 



intersections des trois cordes en dedans du cercle est ■ = — comme 



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auparavant. 3° J'ai trouvé le même résultat par le calcul intégral voir loc. cit. ), 



mais la démonstration est assez longue et inutile. Les considérations précé- 



dentés suffisent pour montrer que la probabilité cherchée n'est pas —, 



comme on aurait pu croire, en suivant Laplace et de Moivre. 



En effet, un examen minutieux de la question fait sortir une 

 conclusion remarquable. L'événement R est, selon la définition, absolu- 



