8 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



une masse 2S„ appliquée au milieu 1 du côté AB. De même les deux 

 masses S 2 , appliquées en B et C, se composent en une masse 2S 2 , appli- 

 quée au point 2, milieu de BC, ... ; les deux masses S n _ 2 , appliquées 

 en D et E, se composent en une masse 2S ;i _ 2 , appliquée au point (n — 2), 

 milieu du côté DE. 



Pour composer les deux masses 2S„ 2S 2 placées respectivement en 

 1 et 2, joignons ces deux points et cherchons sur la droite de jonction 

 un point (12) qui partage cette droite dans le rapport inverse des 



Si c. 



masses — • bi nous joignons AC, la droite de jonction est partagée au 



point a' par la diagonale OB dans le rapport des aires des triangles OAB 

 OBC, qui ont même base OB. 

 Par suite, on a 



A a' S, 



C a' S 2 



Le point a divise la droite (Ï2) dans le même rapport, puisque les 

 droites AC, 12 sont parallèles. Donc on aura le centre de gravité (12) des 

 quatre masses S, en A, S, + S 2 en B, et S 2 en C, en renversant bout 

 pour bout la droite 12, ce qui revient à prendre 2(12) =Ta. 



De même la droite 23 est divisée en p par la diagonale OC en segments 

 proportionnels à S 2 et S 3 ; si l'on retourne la division de la droite en 

 prenant 2(23) = 3B, on aura en (23) le centre de gravité des quatre 

 masses S 2 en B, S 2 et S 3 en C, S 3 en D. 



On procédera ainsi pour tous les côtés du polygone compris entre les 

 deux qui aboutissent au point 0. Connaissant les centres de gravité (12) 

 de 8S, et 2S 2 , (23) de 2S 2 et 2S 3 , (34) de 2S 3 et 2S 4 , . . . , ((n — 3)(n — 2)) 

 de 2S W _ 3 et 2S„_ 2 , il est aisé d'en déduire, par une construction connue 

 qui ne comporte que le tracé de droites, les centres de gravité des 

 masses successivement cumulées, 2S„ 2S 2 , 2S 3 , puis 2S„ 2S 2 , 2S 3 , 

 2S 4 , . . ., et ainsi de suite jusqu'à 2S„ 2S 2 , 2S 3 , . . ., 2S„_,. 



En effet, le centre de gravité des trois masses 2S,, 2S 2 , 2S 3 est situé à 

 la fois sur les deux droites 1(23) et (12)3 ; il est donc au point (123), où 

 ces droites se rencontrent. De même, les droites (123)4 et (12)(34) se 

 coupent en un point (1234), qui est le centre de gravité des quatre masses 

 2S„ 2S 2 , 2S 3 , 2S 4 . Et généralement, si l'on a obtenu le centre de gra- 

 vité ((12 . . . (n — 3)) des n — 3 masses 2S„ .... 2S„_ 3 , on aura le centre 



de gravité (12 ... (n — 3 (n — 2)) des n— 2 masses 2S„ 2S n _ 2 



en prenant l'intersection des deux droites 



(12 ... (n — S))(n —2) 

 et ( 12 . . . (n — 4); ( (n — 3)(n — 2)). 



