20 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



SOMME DES CARRÉS DES TERMES 



Cherchons aussi la somme S des carrés des termes du groupe dont r est 

 le rang. Désignons en général par S la somme des carrés des nombres 

 naturels de 1 à p inclusivement ; on sait qu'on a 



_ p(p-\-i)&p + l) 

 *' - 6 



r{r-\-\) 

 Appliquons cette formule successivement aux nombres de 1 à ^ — 1 > 



puis aux nombres de 1 à — - — 1 . La différence sera la somme S 



des carrés des nombres entiers de ■ à — — 1. On a donc 



2 2 



S = S,.,,. , „ — s„ 



;^_,)(^+iJX'v'+''- 1 )-( ;z ^-')(^)( -■--'-', 



6 



_ 3r s — 5V 3 + 2r _ (r — l)r(r -f i)(?,r- — 2) 

 12 — ï2 



Pour toute valeur entière de r la fonction S a une valeur entière, les 

 divers facteurs entiers du numérateur admettant toujours les uns ou les 

 autres les facteurs 3 et 4 du dénominateur. 



Supposons r impair, et partageons encore le groupe en deux sous- 

 groupes dont l'un comprenne les plus petits nombres jusqu'au terme 

 central inclusivement, l'autre comprenant tous les termes qui suivent. 

 Désignons par S' et S" les sommes des carrés des nombres compris dans 

 ces deux sous-groupes. 11 viendra, en appliquant les mêmes formules, 



S' — S ^ 



6 



S" — s s 



2 2 



— I ')(— 2— X r(r + 1} - l ) — * r- ' 



