22 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



totale s'exprime par la fonction '- , que l'on peut ramener aux 



o 



nombres \ et — qui occupent le milieu du groupe. Appelons x t le 



plus petit de ces deux nombres et # 2 le plus grand. On aura 



r*(r* — 1) _ xj$x x + 1) («t + x,)x, 



de sorte que cet écart est égal au quart du produit du plus grand des deux 

 nombres par la somme des deux. 



Théorème. — La différence entre les sommes des carrés des termes de 

 deux groupes consécutifs est égale au quintuple du carré du nombre trian- 

 gulaire qui commence le groupe le plus élevé des deux. 



On a, en effet, pour les sommes des carrés des termes des deux groupes 

 de rang r et r -\- 1 , 



S(r + 1) = 3(r + 1)3 ~ 5(r + 1)3 + 2(r + j) 



§(r) = 3r» - 3r» + 2r 

 12 

 Donc 



S(r + 1) - S(r) = 3[(r + U ' -'"]- 8 < r + <)'-'■') + 2 



Or ■ - est le nombre qui commence le groupe dont le rang est 



r + 1 ; ce qui démontre la proposition. On voit, en même temps, que cette 

 différence est égale à cinq fois la somme des cubes des r premiers nombres 

 entiers ; qu'elle est la somme de deux carrés entiers, etc. 



RÉPARTITION DES NOMRRES ENTRE LES GROUPES 



Étant donné un nombre entier p, on peut se demander à quel groupe il 

 appartient. 



Soit r le rang du groupe cherché. On devra avoir 



r(r— 1) 



— r-<^ 



2 ^ J ' 



