24 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Théorème. — Dans un groupe quelconque il ne peut y avoir plus d'un 



carre entier. 

 Les deux termes extrêmes sont 



r(r — 1) r(r + 1) 



— 3 — el -^-s ' ; 



dont la différence est r — 1. 



Supposons que le groupe renferme un carré a 2 et que ce carré soit égal 



r(r — 1) 

 au nombre S'il y avait un second carré dans le groupe, ce carré 



serait égal au moins à (a + l) 2 , de sorte que la différence 2a + 1 entre 

 les deux carrés consécutifs serait moindre que r — 1. On aurait par con- 

 séquent 



2a + 1 <r— 1, 

 ou 2a <r — 2. 



Donc 2y / !EIj) <r _ 2 



2r(r — 1) <r 2 — Ar -f- 4 

 r 2 -f- 2r < 4 

 (r- + 1)» < 5 



r < — 1 + \/5. 



11 faudrait donc qu'on eût r au plus égal à 1. Or, pour r = 1, il n'y a 

 qu'un terme, 0, dans le groupe correspondant. 



A fortiori, si a 2 était plus grand que '^ ~ ' , (a + l) 2 serait en dehors 

 du groupe contenant a 2 . 



En réalité, il y a beaucoup de groupes qui ne contiennent aucun carré ; 

 et ceux qui en contiennent un n'en contiennent qu'un. 



Remarques particulières. 1° Le terme central d'un groupe impair peut 

 être un carré. 



Il suffît de résoudre en nombre entiers l'équation indéterminée 



u- , 

 z 



ou 



Cette équation admet la solution r — 3, u = 2, qui est la solution en 



