ÉD. COLLIGNON. — REMARQUES SUR LA SUITE DES NOMBRES ENTIERS 27 



Le nombre 8m 2 + 9 doit donc être égal à un carré impair v*. Posons 



8u 2 + 9 = v\ 



et faisons 2w = u'' 2 . Il viendra 



v 2 — lu' 2 = 9. 



Les nombres v et u' divisés par 3 donnent pour restes 0, ou ± 1. Dési- 

 gnons par et. et $ ces restes inconnus de la division de v et u' par 3. Les 

 carrés a 2 , p 2 , seront les restes de la division de v 2 et m 2 par le même 

 nombre ; donc a 2 et j3 2 sont égaux à ou à -j- 1. On peut donc admettre 

 quatre combinaisons, savoir : 



a 2 = B 2 = auquel cas on aura u 2 — lu' 2 = (mod. 3) 



a 2 = p 2 = 1 — v 2 — 2u' 2 = — 2 = 1 



a 2 = 1 S 2 = — v 2 — 2w' 2 = + l' 



a 2 = 1 p 2 = 1 — y 2 — 2u' 2 = — 1. 



La première hypothèse est seule admissible ; car les trois autres rendent 

 v 2 — 2m' 2 non divisible par 3, ce qui est incompatible avec l'égalité à 

 satisfaire. Il en résulte que v et u' sont tous deux multiples de 3, et qu'on 

 peut poser 



v = Sv', u' = 3m", 

 ce qui ramène l'équation à la forme 



équation dont la solution générale est donnée par les relations 



, (3 + 2 \/%) k + (3 — 2 v/2j* 

 v =— j- ■ 



„_ (3 + 2 y/2) A " — (3 — 2 y/2) 

 2\/2 



