32 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



essayera les diviseurs 2, 3 et 5, et on supprimera dans le groupe leurs 

 multiples : 



^ $ 23 ^ pê <d à^ 



Le nombre 23 qui reste non barré est le seul nombre premier de ce groupe. 



Pour appliquer la méthode à r = 8. on devrait essayer les diviseurs 2, 

 3, o et 7. Mais le carré de 7, étant supérieur au plus grand nombre du 

 groupe, il est inutile de l'employer, et l'on obtient le tableau suivant en 

 se bornant aux trois premiers diviseurs, 2, 3 et o : 



p 29 ^ 31 ^ 3^ ^ 3(5 



11 reste non barrés les nombres premiers 29 et 31. 



La loi de répartition des nombres premiers dans la suite des nombres 

 naturels est extrêmement complexe, et ne paraît pas pouvoir être exprimée 

 exactement par une formule analytique. On se contente, en pareille matière, 

 d'approximations plus ou moins grossières. Sans prétendre aborder un 

 problème qui a défié les efforts des plus grands analystes, nous nous con- 

 tenterons ici de mettre en évidence une sorte de loi empirique qui donne 

 quelque notion sur le phénomène arithmétique à étudier. 



Supposons qu'on ait fait pour les valeurs successives du nombre r la 



recherche du nombre \j. des entiers premiers contenus dans chaque groupe 



successif; nous pourrons dresser un tableau qui donnera en regard des 



valeurs de r les valeurs correspondantes de y. ; puis nous ferons la somme 



cumulée des valeurs de <j., et nous formerons une colonne des valeurs 



de M = S[x. Une valeur de la somme M inscrite en regard d'une valeur 



de r, représentera par conséquent le nombre des entiers premiers contenus 



dans l'ensemble des groupes depuis zéro jusqu'au groupe de rang r, 



c'est-à-dire le nombre des entiers premiers contenus dans la suite des 



r[r + 1 ) 

 nombres naturels de 1 à 1 ; elle fera connaître des valeurs 



A 



de la fonction /"(N) qui exprime le nombre des entiers premiers contenus 

 dans les N premiers nombres naturels, mais pour des déterminations par- 

 ticulières et discontinues de l'argument N, 



Voici un essai de ce tableau. La première colonne contient les valeurs 

 de r ; la seconde le nombre qui termine le groupe dont r est le numéro ; 

 la troisième le nombre jx des entiers premiers contenus dans le groupe 

 de rang r ; la quatrième le nombre M des entiers premiers contenus dans 

 les r premiers groupes, c'est-à-dire dans les nombres naturels de 1 à 



r(r + 4) 



r — - — 1 : enfin les deux dernières colonnes renferment les valeurs 



2 



/■(/• + 1) 

 des rapports du nombre M aux nombres r et — — 1 . 



