É. LEMOINE. — QUESTIONS RELATIVES A LA GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 



SUR DEUS CONIQUES HOMOFOCALES, L UNE INSCRITE, L AUTRE CIRCONSCRITE 



C. — J'ai signalé en 1883 au Congrès de Rouen les deus coniques 



2^ = 0, (1) 



2 \larx = 0, que l'on peut encore écrire : 



n.r 



p ■ — a 



0, (2) 



qui sont homofocales, ont pour centre le point p — a, etc. 



Je veus doner encore quelques propriétés de ces courbes. 



Les carrés des demi-axes de (1) sont, en apelant d la distance Oo, des 

 centres des cercles inscrit et circonscrit : 



2S 2 R/R + r . AVR-f-r \ t 2S 2 R/R + r , A/R 



d 3 



(^-o'^-o-^'+'X^-o' 



2S 2 Rro(R + r + d) 2S 3 Rro(R + /■ — ci) 



ou : i— et 



d° d b 



,,,.,. P , 4S 2 R»'8 



Le carré de la demi-distance locale est : ■ — ; 



a s 



Les carrés a" 2 , 6' 2 des demi-axes de (2) se calculent alors linéairement 



4S 2 Rro 

 par les formules : a'"- — b" 2 = — - — > (3) 



2w 2 

 a' 2 + 6' 2 = -^-(2R 2 — 2Rr — r 2 ). (4) 



Ces résultats doivent être très pénibles à trouver par les métodes ordi- 

 naires. On y arrive assez facilement en se servant des formules de M. P. 

 Serret, donées dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 186o, p. 208. 



Il faut, de plus, pour avoir la formule (4), évaluer la quantité 



2S 

 Ia(/j — a) 2 cos A, que l'on trouve égale à — (2R 2 — 2Rr — r 2 ), au moyen 



des transformations simétriques dont j'ai donô de nombreus exemples. 



1 



L'ellipse (1) coupe le cercle circonscrit au point , etc. 



