G. ARNOUX. — ESSAIS DE PSYCHOLOGIE ET DE MÉTAPHYSIQUE POSITIVES 55 



Ceci éfahli, 12 et 14 étant, par le fait de noire construction, identiques 

 case à case, 32 et 34 sont différents case à case. 



De même, 12 et 13 étant identiques case à case, 42 et 43 sont diffé- 

 rents case à case. 



Mais 34 et 43 étant symétriques par rapport à la diagonale sont 

 différents case à case après le renversement de l'un d'eux autour de sa 

 diagonale ; il suit de là que 32 et 42 sont différents case à case après 

 renversement. 



Or, comme 31 et 41 sont identiques case à case, 32 et 42 sont différents 

 case à case ; de tout cela il résulte, enfin, que 32 et 42 sont à la fois 

 différents case à case et différents après renversement de l'un d'eux 

 autour de sa diagonale, ce qui, sans plus amples explications, implique 

 que les cases symétriques par rapport à la diagonale, tant dans l'un que 

 dans l'autre, sont identiques. 



Pour plus de clarté, prenons le carré 32 et voyons ce qui s'y passe. 



Si les N ont des signes identiques et s'il en est de même des et des P, 

 les signes de M 2 , M 3 , M 4 sont identiques entre eux et différents de M t . 



I'ig. 17. 



Fig. 18. 



Par conséquent, dans le carré central, les signes de M 2 et M 3 sont forcé- 

 ment identiques ; ceux de P 2 et P 3 également ; par suite, il est absolument 

 impossible que le quadrille obéisse à la loi qui tient sous sa domination 

 la possibilité ou l'impossibilité du problème. 



Il est donc clairement établi que le problème est forcément impossible 

 pour 16 = 2*. 



Mais, comme ce que nous venons d'exposer ne limite en rien l'étendue 

 du carré central, les mômes raisons s'appliqueraient à tous les carrés 

 centraux d'arête supérieure à 2, et l'impossibilité ne fera que s'accentuer 

 à mesure que l'arête augmentera. 



Les démonstrations d'impossibilité de certains problèmes présentent 

 souvent de telles difficultés que j'ose espérer que le lecteur voudra bien 

 être indulgent si mon exposition a laissé à désirer ; n'ayant jamais pro- 

 fessé et ne m'intéressant qu'à la question de découverte, je me suis pour 

 ainsi dire estropié le cerveau à certains points de vue ; privé du concours 



