G. ARNOUX. — ESSAIS DE PSYCHOLOGIE ET DE MÉTAPHYSIQUE POSITIVES 49 



que, par conséquent, toute la difficulté consiste à construire un tableau des 

 signes obéissant à cette loi (*). 



Cette difficulté n'est pas bien grande, comme on va s'en convaincre. 



Euler nous dit qu'il est permis de changer les signes d'une ou de plu- 

 sieurs lettres. Au moyen de cette faculté, nous pouvons, dans un tableau 

 complet, comprenant les grandes, les petites lettres et les signes, arriver 

 à n'avoir que des signes -f-, tant dans la première ligne que dans la pre- 

 mière colonne. 



En effet, quelle que soit la disposition des signes, on peut, par des 

 changements de signes des grandes lettres, arriver à n'avoir que des 

 signes -f- dans la première colonne; ce résultat obtenu, au moyen de 

 changements de signes des petites lettres, on amène la première ligne à 

 n'avoir que des signes -f-. 



Sans entrer dans aucun détail à ce sujet, nous dirons qu'il n'y a aucun 

 inconvénient, alors, à faire abstraction du tableau des petites lettres et à 

 ne considérer que le bloc des grandes lettres et des signes, ce qui sim- 

 plifie singulièrement la question. 



Si nous observons le carré d'Euler, nous voyons de suite que son 

 procédé de construction est d'une extension indéfinie, quant aux lettres, 

 quelle que soit l'arête 2". 



En effet, prenons deux lettres, A et B, plaçons-les dans une première 

 ligne dans l'ordre AB et dans une seconde dans l'ordre inverse BA, nous 

 obtenons le carré 



Fio. 6. 



(*j Si l'on prend le bloc des grandes, des petites lettres et des signes, et si l'on élève nu carré 

 chaque ligne, on trouve dans le produit des monômes ayant la forme d'un carré, tels que a 2 A 2 , 

 6 2 B 2 , c 2 C 2 , d 2 D 2 , etc., et d'autres celle d'un produit de lettres différentes, aAbB, aAcC, aXdD, etc. 



En observant la to alité de ces derniers produits, on voit que chacun de ceux qui diffèrent au 

 moins par une lettre est répété deux fois et pas davantage; si donc on parvient à donner un signe 

 différent aux deux produits de même composition, leur somme s'annulera, et dans le résultat final 

 il ne restera plus que les monômes ayant la forme de carrés dont la somme, convenablement disposée, 

 prend la forme donnée par Euler au premier membre de son équation, c'est-à-dire un produit de 

 deux polynômes composés chacun de quatre carrés. 



Or, ces produits, identiques quant aux lettres, résultent de la multiplication 

 des deux termes formant les côtés horizontaux de nos quadrilles. Ainsi, dans +„a 

 le quadrille (fig. :;) les produits sont a\bB et aBbX, dont les facteurs sont inter- 



+ 6 B 



vertis. Si donc, dans le tableau des signes J~~^_ il y a trois identiques et un +flB b A 



différent, la somme -f aXbli — aBbX sera égale à zéro (l'interversion des fac- F,G - 5 - 



leurs ne changeant pas ici la valeur du produit). 



La question de possibilité et d'impossibilité du problème primitif est donc ramenée à celle de la 

 constitution d'un carré magique dans lequel tous les quadrilles, sans exception, aient trois signes 

 identiques et un différent. 



Au point de vue métaphysique, c'est-à-dire abstraction faite du concret, les deux questions sont 

 absolument identiques et toute solution de l'une entraine, par suite de cette identité, la solution de 

 l'autre. 



Ceci fait partie d'une théorie métaphysique très intéressante, celle de l'Analogie; toutes les sciences 

 en général, et les mathématiques en particulier, en font de nombreuses applications, dont les plus 

 banales sont les logarithmes, les déterminants, les formules symboliques, la géométrie de posi- 

 tion, etc., etc. 



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