G. ARNOUX. — ESSAIS DE PSYCHOLOGIE ET DE MÉTAPHYSIQUE POSITIVES 47 



» comme il est permis de changer le signe d'un ou de plusieurs nombres 

 » a, b, c, d, A, B, C, D, ce qui ne change pas le premier nombre, on a 

 » diverses compositions. 



» Brioschi a donné une formule pour le cas du produit de huit carrés 

 » par huit carrés, probablement la suivante avec quelques changements de 

 » signes 



(<r lr + c i +d i + e* -r f + g* + A 2 ) (a' 2 + &'» + c' 2 + d' 2 + ë- + f* + g'- + A' 2 ) 

 = (aa' -f- bb' + ce + dd' + eë + ff - 1 - gg' -f hh'f 



-\r (ab' — ba! — ci' + de — ef -f- fë — gh' -(- kg') 2 

 t- (aë -f M' — ca' — db' + ea' — /%' — #e' -f //f) 2 

 h (ad' — 6c' -f cb' — aV — eh' — fg' + #/"' -f hë)* 



+ (ae' -f- 6/'' — c#' + ^' — ea' — /&' + gë — hd')- 

 \- (af — bë -f- cA' + d#' + eô' — /a' — //d' — Ac') 2 



+ (ag' + &/*' -f ce' — df — eë -f /"d' — o«' — A&') 2 



-f- (aA' — 6/7' — c/'— de' -f- ed' + fë + 06' — Aa') 2 



» Cette formule m'a été communiquée par M. Prouhet ; la proposition 

 » s'étend au produit de la somme de 2" carrés par celle de 2 n carrés, comme 

 » l'a montré M. Angelo Genochi (Annali di Mathematica pura ed applicata, 

 » t. III, n° 4). » 



De ce qui précède, il résulte que Genochi a montré que la proposition 

 s'étendait au cas de 2 n carrés et que Samuel Roberts a démontré qu'il 

 n'existait pas de formules analogues pour des sommes de seize carrés et 

 plus !!! 



Ces assertions absolument contradictoires prêteraient sans doute à la 

 raillerie, et l'on pourrait soutenir qu'en mathématiques, comme en méde- 

 cine, Hippocrate dit oui et Galien non avec une égale autorité, et définir 

 l'analyse, une science au moyen de laquelle on peut prouver tout ce 

 qu'on veut, môme les propositions contradictoires, avec des arguments 

 aussi péremptoires les uns que les autres ; mais, si, suivant l'avis de 

 Pascal, il est bon d'égayer quelquefois les sujets trop arides, il faut pour- 

 tant rester dans de sages limites et ne pas dépasser certaines bornes. 

 P.our un métaphysicien, il y a là une question très intéressante, celle de 

 connaître la raison qui fait que deux hommes d'une valeur incontestable, 

 employant avec rigueur les principes fondamentaux des mathématiques 

 actuelles, en sont arrivés à démontrer deux propositions absolument 

 inverses. 



Que valent donc les démonstrations analytiques? N'y a-t-il pas là quelque 

 vice secret? Et, dans le cas de l'affirmative, en quoi consiste- t-il? 



C'est ce que nous allons chercher à éclaircir au moyen de l'Analyse 



