46 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Dès l'origine des mathématiques, elle a préoccupé les savants. On lit 

 dans la Théorie des nombres, d'Edouard Lucas (préf., p. xxv) : 



« En généralisant la méthode de Pythagore, qui repose sur le théorème 

 » du carré de l'hypoténuse, on obtient la formule suivante : 



(r 2 + s 2 ) 2 = (r 2 — s 2 ) 2 + (Zrsy, 



» que Proclus attribue à Platon (430-347). » 

 Lucas (p. xxvi), ajoute : 

 « L'identité de Platon généralisée conduit à la formule : 



(r» 4. ,.)(rj 4. ,J) = (rr t - «,)■ + (rs, + r t s)% 



» qui est due aux géomètres indous et se trouve dans le Liber quadra- 

 » torum de Fibonacci (1202). Cette formule exprime que « le produit 

 » d'une somme de deux carrés par une somme de deux carrés est égal à 

 » une somme de deux carrés. » 

 Puis, p. 126 : « La formule 



(a 2 + b 2 )(p 2 + q 2 ) = (ap — bq) % 4 (aq + 6jo) 2 , 

 » indiquée par Fibonacci, a été généralisée par Euler, qui a donné le 



» théorème suivant : le produit d'une somme de quatre carrés par une 

 » somme de quatre carrés est une somme de quatre carrés : 



( — ap 4 es -j- dq -\- br)' 1 

 + (+ dr — bq + as 4 cp) 2 

 + (+ bs -Y- dp — cr + aq)' 1 

 4- (+ c<7 4 ar 4- fy> — ds) 2 



= (a 2 + b 2 + c 2 4- d 2 )(p 2 + ç 2 4 r 2 4- s 2 ). 



» Brioschi a donné des formules semblables pour le produit d'une 

 » somme de huit carrés, mais, contrairement à ce que l'on pensait, 

 » M . Samuel Roberts a démontré qu'il n'existait pas de formules analogues 

 » pour les sommes de seize carrés et plus (the Quaterly Journal, 1879- 

 » 1880). » 



De son côté, Lebesgue, dans son Introduction à la théorie des nombres, 

 dit (p. 65) : 



« Euler a donné la formule suivante : 



(a 2 + 6 2 + c 2 4- d 2 ){k 2 + B 2 4- C 2 + D 2 ) 

 = (oA + 6B 4- cC + d\)f 

 4- (aB — 6A + cD — dC) 2 

 + (aC — 6D — cA -j- dB) 2 

 + (aD 4 bC — cB—dA) 2 ; 



