ÉD. C0LLIGN0N. — REMARQUES SUR LA SUITE DES NOMBRES ENTIERS 41 



Il suffit donc, pour satisfaire à la condition, de prendre pour x un mul- 

 tiple de 4 ; ce que vérifie l'identité 



(4&) a + *(** — !) 2 = k ( U + 4 ) 2 - 

 Il vient, en divisant cette égalité par k, 



16A- + (4A: — l) 2 = (4A- — 1)% 



de sorte que, si l'on prend pour k un carré entier, m 2 , l'égalité donne 

 deux carrés dont la somme soit égale à un troisième carré. On a, en effet, 

 identiquement 



(4m) 2 + (4m 2 — 1J 2 = (4m 2 + l) 2 , 



ce qui conduit aux relations particulières suivantes : 



pour m = i, 4 2 + 3 2 = 5 2 , 



m = % 8 2 + 15 2 = 17 2 , 



m = 3, 12* + 35* = 37*, 



La différence de l'hypoténuse et d'un côté de l'angle droit dans ces 

 divers triangles rectangles est toujours égale à deux unités. 



Il peut être intéressant d'appliquer aux années nos observations sur 

 les nombres entiers consécutifs. Sans attribuer à ces rapprochements la 

 moindre valeur cabalistique, on arrive, dans cet ordre d'idées, à des résultats 

 curieux. 



L'hégire de Mahomet, 622, tombe dans la période r = 31, qui com- 

 mence en 595 et se termine avec l'année 629. L'année centrale de cette 

 période est 612. 



L'année 800, qui est la date du rétablissement de l'Empire d'Occident 

 par Charlemagne, appartient à une période paire, r = 40, de 780 à 819. 

 L'an 800 est l'une des deux années qui occupent le milieu de cet inter- 

 valle. 



La déposition de Charles le Gros, en 888, appartient à la période r = 42, 

 de 861 à 902. 



