40 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Pour p = 4 on aurait de même, en supprimant le facteur x, 



x 3 = 2[4a; 2 (l + 2 + . . . + k) + 4(4 3 + 2 3 + . . . + k*)] 

 = 4k(k -f- 1) x°- + 1k\k + l) 2 ; 



équation qu'on peut écrire 



$x\x — 4k(k + 1)) = U\k + l) 2 . 



La racine réelle positive est supérieure à ik(k -{- i), et a; 2 , supposé 

 entier, serait un diviseur de 4ft 2 (A: -f- 1) 2 > d'où résulterait que x est un 

 diviseur de %k(k -f- 1). Ces deux conditions étant contradictoires, on voit 

 qu'il n'y a aucune solution en nombres entiers. 



§ IV 



On peut varier le problème en cherchant les nombres x tels, que l'on 

 ait l'égalité 



x 2 + (x — a) 2 -f (x — a 2 ) 2 + . . . + (x — a A ) 2 

 = (x + a) 2 + (a + a 2 ) 2 + . . , + (x + a*) 2 , 



en considérant un nombre central x, et des nombres a, a 2 , ... a en pro- 

 gression géométrique, qui s'y ajoutent ou qui s'en retranchent. L'équation 

 se réduit à la suivante : 



X* = ktX : i 



a — 1 



a k+i — a 

 ce qui donne x = 0, ou bien x = 4 X j- '■> cette dernière solution 



donne pour x des valeurs entières dès que les nombres a et k sont eux- 

 mêmes entiers. 



Si l'on suppose a= 1, tous les binômes des deux membres de l'équation 

 sont égaux, et l'équation se réduit à 



a; 2 + k(x — l) 2 = k{x + l) 2 



dont les solutions sont x = et x = 4A - . 



