ÉD. COLLIGNON. — REMARQUES SUR LA SUITE DES NOMBRES ENTIERS 30 



équation qui se ramène à la suivante : 



i: h 



x p =^ [(x + tY — (*-»»?]; 



mais on a 



,/> — 9 



+ ...+' 



{x + y _ ( X _ f y = L* + pwH 1 + 5fc__fi ftrP- 1 + . . . + i") 



- (a? - pix^ + fc^l ,v~ +...+(- l) p ^) • 



et l'équation (1) prend la forme 



^ 2<* + Ï72T3 X 2* ^ 4,2,3,4,5 ^ 



i < 1 



/ k 

 \px ^ b p ~" 1 , si p est pair. 



y i p , si"/) est impair. 



L'équation est du p" me degré si p est impair. Elle s'abaisse au (p — l)" m 

 si p est pair, par la suppression de la solution x = 0. 

 On a par exemple pour p = 3 



a* = 2[3œ»(l + 2 + • • • -f *) + (l 3 + 2 3 + • • • + * 3 )] 



Cette équation peut se mettre sous la forme 



<^{x _ 3k(k + '*)) = **(* + i) 3 - 



On voit sur-le-champ qu'elle n'a qu'une racine réelle, positive et plus 

 grande que 3k(k + 1). On voit de plus que, si cette racine était entière, 

 œ* serait un diviseur de kHk + l) 2 , et par conséquent x un diviseur de 

 k(k + 1), condition incompatible avec l'inégalité x > Sk(k + 1). 



