38 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Le nombre N est toujours multiple de 5. On le reconnaît en remplaçant k 

 successivement par 0, dz 1, ± 2 dans le polynôme qui donne la valeur 

 de N. On reconnaît de plus que N est multiple de 2, malgré la division 

 par 6, si k est de la forme An ou de la forme An — 1 ; de sorte que dans 

 ces deux cas, le nombre N est divisible par 2 et par 5, c'est-à-dire par 10. 



III 



Si, au lieu de considérer des nombres entiers consécutifs, on prend 

 2A- -j- 1 nombres en progression arithmétique, savoir : 



OC ^ OC ■ CL) OC — ■ — '/. • OC ~~~~ h'Qf 



x -\- a, x -f- 2a, x -\- ka, 



et qu'on les assujettisse à satisfaire à l'équation 



x 2 + {x — a) 2 + (x — 2a) 2 + ... -f- (x — ka) 2 

 = (x + a) 2 + (x 4- 2a) 2 4- . . . + (x -{- ka)\ 



on obtiendra des résultats analogues, et que l'on peut ramener à ceux 

 qu'on vient d'obtenir, en posant x = ax'. L'équation se transforme, en 

 effet, en celle-ci : 



x"" -f {x' — l) 2 4- -f (x' — À:) 2 



= (x' 4- 1) 2 4- + (x' 4- ky 



et comme elle a pour solution 



x' = ou x'=:%k{k-{-i), 



la proposée a donc pour solution 



x = ou x — %ak(k 4-1). 



On peut aussi généraliser le problème en étendant aux puissances de 

 degré p ce qui a été dit pour les carrés : on aura à déterminer le nombre 

 central x par l'équation 



(l) /-f(a;- \f + (x — 2) p 4-" . . . + (ar— kf 



= (x + if 4- (* 4- 2) p 4- • • • -b (« + *•)", 



