36 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



ce qui donne une propriété curieuse du nombre de jours de l'année com- 

 mune. 

 Pour r = 7 on aura de même 



212 _i_ Q2 2 -f 23 2 -f 24 2 = 2o 2 + 26 2 + 27 2 = 2030; 



et pour r = 9 



362 _j_ 372 + 382 + 392 _i_ 4Q2 _ 412 _|_ 42 2 _i_ 432 _j_ 442 _ 7230. 



On peut se proposer de trouver a priori les nombres qui satisfont à 

 une pareille relation, soit x le nombre central d'une suite de 2A -|- 1 

 entiers consécutifs. Nous devrons déterminer x par l'équation 



X* + (x — l) 2 + {x — 2) 2 + + (x — A) 2 



= (x + l) 2 + (x -f 2) 2 + + (x + A-) 2 , 



mais (a; -j- ?') 2 — (x — /) 2 = Aix, quel que soit i. On voit que l'équation 

 se ramène à la forme 



a; 2 = kx (1 + 2 + 3 + . . . + A) = %x ^2^ ' 



d'où l'on déduit 



soit x = 0, soit x = 2A(A -j- !)• 



La solution a; = donne la suite 



0, — 1 , — 2, — 3, ... — A, 



+ 1, +2, +3, ... +*, 



dont les termes satisfont évidemment aux conditions imposées, quel que 

 soit k. Nous en ferons abstraction dans ce qui suit. 



La solution x ■= 2A (A + 1) donne pour le nombre central x le qua- 

 druple du nombre triangulaire ' La base de ce nombre est A. Le 



Tu 



nombre r des termes du groupe de x — A à x + A est égal à 2A -f 1. 

 On retrouve en un mot le groupe de rang r = 2A- -f 1. 



On peut observer que le nombre central x est le quadruple de la somme 

 des A premiers nombres entiers. 



Si l'on appelle N la somme des carrés 



x* + (x - l) 2 + • • • + (« - k Y = ( x + 4 ) 8 + • • • + ipe + A) 2 , 



