132 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



D'autre part, le point de contact de la roulette avec le plan décrit, dans 

 le déplacement infiniment petit, un arc de courbe égal à EC. dx. Mais 

 l'angle de rotation dd de la roulette est seulement donné par la projection de 

 cet arc sur le plan de la roulette. Cette projection est égale à FC.dz, de 

 sorte qu'on a entre db et da la relation suivante : 



(3) rdd — (b + x). da, 



qui est générale aussi en donnant un signe à dd . 

 De ces relations (2) et (3) on tire aisément : 



(4) d\ = ( ^- — ab \ dx 



-ardb. 



Et. en intégrant 



(o) X = (j-ab)a + arO. 



Ainsi l'angle de rotation de la roulette donne, conjointement avec 

 l'angle a de rotation de la droite, l'expression de l'aire balayée par le seg- 

 ment AB. On peut même remarquer que, si le centre de la roulette était 

 fixé au milieu de AB, l'on aurait tout simplement : 



(6) A = ard. 



Lorsque la droite revient à sa position initiale, a est égal à ou à un 

 multiple de 2tt. S'il est égal à zéro, la relation (6) est vraie quelle que 

 soit la position du centre de la roulette sur AB. 



Je dis maintenant que, si les extrémités A et B de la droite ont décrit 

 des courbes fermées G et r, l'aire totale A balayée par ce segment de 

 droite est égale à la différence des aires contenues à l'intérieur des courbes 

 G et r, à la. condition de donner à ces aires des signes + ou — suivant 

 qu'elles sont décrites dans un sens ou dans l'autre. 



Cela résulte de ce que ces courbes séparent les régions du plan où les 

 points sont rencontrés un nombre pair de fois par le segment de celles où 

 ils sont rencontrés un nombre impair de fois. Si l'on affecte le signe + à 

 l'un des côtés de la droite et le signe — à l'autre côté, el si l'on convient 

 de compter positivement les rencontres d'un point par la droite quand 

 c'est le côté + qui l'aborde, tandis qu'on comptera négativement celks 



