56 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



L'équation (2) 



(1) l(X)+ j ?(X — x)l(ac)dx=\ 



« 



est identique à l'équation (1); il suffit pour s'en rendre compte de faire 

 le changement de variable X — x = z. On constate de plus que l'équa- 

 tion (2) est bien du type des équations linéaires de Volterra de seconde 

 espèce. 



La dérivation du premier membre de l'équation (1) par rapport à X 

 nous donne 



dl(X-x) 



/'(X) + <?(X.,+ f ç(.r) 

 "0 



dX 



— u 



ou encore 



dx = o 



V • 



(3) ? (X) +f ? (.r) d,{ * ~ x) <fa =- /'( X .. 



Alors que (3) servira à la recherche de la fonction 9, quand la fonc- 

 tion / (X) sera donnée, l'équation (2) servira de point de départ à la 

 recherche de / (X), quand on connaîtra 9. 



Il est évident que toutes les fois que l'on a pour forme de survie, une 

 expression de la forme 2tPi(x) e a ' x , P, étant un polynôme de degré 

 (i — 1) et «i une constante, racine d'ordre i d'une certaine équation 

 caractéristique d'ordre n 



on peut dire que l'expression 2 P,x) e*' x peut être considérée comme 

 l'intégrale de l'équation différentielle d'ordre n, caractéristique de la 

 loi de survie 



d" l d n ~ x l 



(4) a "l^^ ai d~x~^ +•.. -+-««* = <>. 



Il est évident que l'on peut avoir ainsi les diverses formes classiques 

 invoquées jusqu'ici. En dérivant successivement par rapport à X le 

 premier nombre de l'équation (1), on trouve 



/ (X)+ 1 <p(a?)/(X — x)dx = i, 



/' (X)H-Z(o)$(X) + f 9 (x)f'(X — x)dx = o, 



t/o 



• • ■ .■ * 1 



1"{X) -+- l(o) <p"-i(>) -h. . .-+- /"-'(o) çp (X) -+- / çp(a?) ^«'(X — x)dx = o. 



«A 



Si l'on multiplie respectivement les premiers nombres de ces équa- 

 tions par a„, a n -i, • • •, «o e t si l'on ajoute les produits obtenus, on 



