RISSER. ASSURANCES SUR LA VIE. 55 



On voit donc qu'on est amené à résoudre l'équation 

 (8) f ^xîS^° + ^-^V(^)^ = F(X + * )= £(X). 



Cette équation peut être résolue par le procédé classique de Volterra 

 ou encore en ayant recours à la méthode si élégante et si féconde des 

 approximations successives, due à M. Picard; cette méthode permettra 

 de calculer les éléments /„, /j, / 2 , . . ., f tl de j(z). L'actuaire amené à faire 

 un ajustement de Tables par âges à l'entrée pourra voir quel est le nombre 

 d'éléments /, qu'il y aura lieu d'introduire. On trouvera d'ailleurs tous 

 les détails concernant l'étude de l'équation de Volterra, qui nous inté- 

 resse, dans les travaux de M. Volterra lui-même, dans l'introduction à 

 la théorie des équations intégrales de Lalesco et dans les belles leçons 

 professées par M. Picard ou il a exposé sa méthode des approximations. 



Deuxième Partie. 



Sur une application de V équation de Volterra au problème de la répartition 

 par âge dans les milieux à effectif constant, et en particulier dans les 

 Sociétés qui pratiquent le système d'assurance dite du freine au décès. 



Désignons par N, le nombre des membres de la Société, par l (X) la 

 loi de survie et par 9 (x) la loi caractéristique des entrées à l'âge x; oh 

 supposera que l'origine des âges a été prise égale à o au lieu de x, ce qui 

 revient simplement à un déplacement d'origine des coordonnées ou des 

 âges. 



Dans ces conditions, le nombre des membres fondateurs est réduit à 



N/(X) au bout du temps X; 



le nombre des nouveaux adhérents entrés au cours de l'intervalle (o, X) 

 s'élève à 



N f y{x)l(X—x)dx. 



Si l'on veut que l'effectif reste constant et égal à N, on aura à résoudre 

 l'équation 



N/(X)+n[ y(x)l(X — a?)<for = N 

 ou 



(1) *(X)-H f «p(a?)/(X — x)dàc = ï; 



«A) 



on suppose que / (o) = 1. 



Si l'on se donne la forme de la fonction l (X) et par suite l (X — x), 

 on est conduit à chercher la fonction cp, qui répond à la question, et par 

 suite à résoudre un problème d'inversion d'un type connu. 



