54 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



il ne resterait plus qu'à intégrer l'expression 



v' 



£ = a -+- bq x -\*-y <p(o? — y) 



i'x 



pour retrouver une formule indicative du nombre des assurés v (#, y). 



Deuxième méthode. — Si v (x, y) désigne comme précédemment, le 

 nombre des rentiers d'âge x, entrés dans l'assurance à l'âge y, on peut 

 dire que 



(6) j v(x,y)dy = ¥(x), 



ou F (a;) représente le nombre des rentiers d'âge x, quel que soit leur âge 

 à l'entrée; x est l'âge inférieur à partir duquel se produisent les admis- 

 sions dans le groupe. 



Il est évident que F (x) est une fonction de la forme prévue par 

 Makeham, ou plus généralement l'une des fonctions généralisées par 

 M. Quiquet dans sa brillante étude sur les lois de survie 



e A+B.r+S/i r .f',(.r) > 



En tout cas, la fonction F est une fonction finie et déterminée dans 

 l'intervalle x , x; sa dérivée est aussi parfaitement déterminée dans le 

 même intervalle, car, on suppose essentiellement que l'on prend x légè- 

 rement inférieur à l'âge limite du groupe. 



Or v {x, y) peut évidemment être remplacé par le produit 



As^x/(,'- 7 ), 



où la fonction f(x — y) est inconnue. 



Il faut déterminer cette fonction f (x — y) par la condition 



(7) r^- x S<* x ~ ] »f(x-y)dy=¥(x), 



«- ■*■<> 

 ou encore 



(7') f^ S* x -^-^f(x - y) dy = F(t). 



Si l'on pose x — y — z, on voit que l'équation (7') se transforme en la 

 suivante 



Dans l'équation précédente la quantité 4| S* x(l ~ H ' > " 1 " remplit le rôle 



du noyau, d'une équation de Volterra de première espèce; de plus ce 

 noyau est borné dans l'intervalle d'intégration. 



