36 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. - - MÉCANIQUE. 



des triangles BCA 1? GAB,, ABC, inversement semblables à A' B' C, 

 et menons les droites AA,, BB,, CC,. 



Soient P le centre perspectif et abc son triangle podaire par rapport 

 à ABC. 



D'après la propriété rappelée ci-dessus, on a 



bv ,.,„ <ib 



AP=-^V, CI 



n> — 



-, 5 



sinA sinG 



d'où il suit que AB et A, B sont respectivement proportionnels à AP 

 et CP et que les triangles ABA,, APC, dont les angles en B et P ont pour 

 valeur commune B + B', sont semblables, ce qui donne 



AA, AB 

 AG == AP' 



et par conséquent 



A A, .bc = AB. AC sin A = le double 



de la surface S du triangle ABC. 



De même 



\\V, { .ca = GGt.ab = iS. 



Les côtés du triangle minimum abc sont donc réciproques par rapport 

 à 2 S des longueurs AAi, BB,, CCi. 



Il est à remarquer que les droites AA 1? BB^ CCj se coupent en un même 

 point, qui est l'inverse par rapport au triangle ABC du centre perspectif P, 

 et sont respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle abc. 



Si sur les côtés du triangle ABC, on avait construit des triangles BCAi 

 CABi, ABC, inversement semblables à A' B' C, et cette fois vers l'inté- 

 rieur, on aurait eu de même des longueurs AA,, BB,', CCÎ, réciproques 

 par rapport à i S de celles des côtés du triangle minimum inscrit. 



Au cas où A' B' C serait équilatéral, ou simplement isoscèle, le pro- 

 blème serait encore susceptible de deux solutions, toutes deux accep- 

 tables. 



AiBid, A,B 2 C 2 , A3B3C3 étant les triangles podaires d'un même 

 point P par rapport aux triangles ABC, A,B, C,, A 2 B 2 C 2 , le triangle 

 A 3 B 3 C 3 est directement semblable à ABC, et P est leur centre de simi- 

 litude. 



