in MATHEMATIQUES, ASTRONOMIE, GEODESIE. M EC AMQE E. 



ou, si A et B sont positifs, lorsque 



\ -■■;> a M 2 . 



Donc, si A 3 > a B 2 , la courbe aura un point double réel. 



Si A a = </ B 2 , la courbe aura un point de rebroussement à l'origine, 

 la tangente de rebroussement étant Ox. 



Si A 3 <C a B 2 , le point A sera isolé, et la courbe n'aura pas de boucle. 



Ces trois formes de courbe sont bien analogues à celles du limaçon de 

 Pascal. 



I ire de la courbe. - - ( )n a, pour la différentielle de l'aire, 

 i V ; cos-0,/o 



y. 2( a 2 cos 2 6 -f- b 2 sin-0 )- 



B*tfO AMl-'cosOrt'O 



2(a 2 cos 2 Ô-K& 2 sin*-8) ~ , >n ,, . a 



i a 2 cos 2 -+- 6 2 sin 2 8 i 2 



En intégrant deux fois, de 5 = o, à b = -, ou a, pour l'aire totale de la 

 courbe, 



;os*6d8 " 



U = A«/ — ; y 



. /, ( a 2 cos 2 



o 



t a 2 cos 2 6 - 6 2 sin 2 6) 2 



dB /•" dsinB 



1 " " (a 2 cos 2 8 -4- b 2 sin-0 ) 2 



Or, la dernière intégrale a la même valeur aux limites o et -, elle est 

 donc nulle. Les deu>x, autres ont pour valeur 



Ç~ cos 2 0</0 - r 71 dU _tt_ 



j ( o 2 cos 2 -+- b 2 sin 2 0) 2 "" ->.a 3 b ' J Q a 2 cos 2 -f- A 2 sin 2 ~" rtTT 



L'aire est par suite 



-V' ttB* - 



•2^" A r/A art'' O 



Application. - - Le lieu géométrique suivant donne une courbe de ce 



genre. 



On considère les cordes MM' d'une ellipse qui joignent les extrémités 

 de deux demi-diamètres conjugués, et l'un des sommets A du grand arc. 

 Lieu, de V orthoeëntre du triangle AMM . 



Soit l'ellipse b 2 x 2 -\- a 2 y 2 = a 2 6 2 , et o l'angle d'anomalie excentrique 

 en M (acosep, ftsincp). Les coordonnées de M' sont ( — (/sino, />cos^). 

 Si celles de A sont ( — </, o) on trouve, sans entrer dans le détail des cal- 

 culs, pour les équations des trois hauteurs du triangle AMM', issues 

 de M, M' et A 



(9) rt.r(i— sincp) -+• by cosç = « 2 cos 0(1 — sin cp 1 h- b- sin cp cosep, 



(10) aa?(i ■+■ cosep) -+- ôj' «i 11 «p = — a 2 smcp( 1 -+■ cosep) -f- b 2 sin cp cos*p, 



(in a{% -+- rt) ( cos cp + si m » ) = 6^f ( cos es — si n cp 1. 



