BALITRANB. - THÉORÈME SUR LA DÉVELOPPÉE DE 1. BLLÏPSE. 20 



1rs axes Ox et Oy. En vertu des formules (2), à cette normale correspond 

 une droite M^,. Il est aisé de vérifie'' que le segment a(3,, compris entre 

 1rs axi's conserve une valeur constante pour toutes les positions du 



c 2 

 point M sur l'ellipse (1). Cette valeur est égale à—- Ce segment enve- 

 loppe donc une hypocyeloïde à quatre rebroussements, qui n'est autre 

 chose que la transformée de la développée de l'ellipse au moyen dis 

 formules (2). 



Désignons par P et P, les points où se coupent respectivement les 

 perpendiculaires élevées à Ox et Oy en a et (3 et en a et (3,. Le point 

 où la droite a(3, touche son enveloppe, s'obtient en projetant le point P, 

 sur a(3j ; soit [J-i ce point. Le point correspondant de la normale, c'est- 

 à-dire le centre de courbure de l'ellipse au point M, s'obtiendra, soit en 

 menant par {J. { une parallèle à Ch/; soit, en joignant le point P au point 

 où la droite Pi f-, coupe l'axe Ox. 



Quand le point M parcourt l'ellipse, le lieu du point [M est l'hypo- 

 cycloïde à quatre rebroussements, enveloppe de la droite 2,3 1 . D'après 

 une construction connue, son centre de courbure y, s'obtient en prenant 



Désignons par y le point correspondant dans la transformation (>). 



Par la même transformation, le cercle oscillateur à l'hypocycloïde 

 en [J. x se change en une ellipse qui a pour centre le point y et pour axes 

 les parallèles, y X, y Y. menées par ce point à Ox et Oy. D'ailleurs, cette 

 ellipse passe au point p et y oscule la développée de l'ellipse (1). 



Pour avoir le centre de courbure de celle-ci. il suffît donc de construire 

 celui d'une ellipse dont on connaît les axes, un point et la tangente en ce 

 point. C'est un problème bien connu et dont il existe de nombreuses 

 solutions. 



Par exemple, appelons C et Cj les milieux des segments déterminés 

 sur y X et y Y par la tangente et la normale en [j. à la développée de 

 L'ellipse! La droite CC t passe par le milieu du rayon de courbure de la 

 développée. 



M. BAUTRÀND. 



UN THÉORÈME SUR LA DÉVELOPPÉE DE L'ELLIPSE. 



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26 Mars. 



Nous nous proposons de donner une démonstration analytique élé- 

 mentaire, n'utilisant que les formules les plus courantes de la théorie 



