BALITRAND. - - RÉPONSE A LA COMMUNICATION DE M. DUREL. 21 



a pour base la droite MN et pour sommet le point d'intersection S des dia- 

 gonales. 



Appelons a le pied sur BC de la hauteur AH rf et Ai le point où elle 

 coupe le cercle circonscrit. On a H rf z = a A,. On aurait de même 

 H„c> = oDi, et par suite, la droite H„H^ est égale et parallèle à AD. 

 La figure ADH„ H f ; est un parallélogramme dont les diagonales se 

 coupent en w. En effet, la droite du est parallèle à AH d et passe par le 

 milieu de DH^. . 



Donc : Les droites qui joignent chaque sommet à V orthocentre du triangle 

 formé par les trois autres sommets, passent par V anticentre. 



On peut ajouter que les quatre droites ainsi obtenues se coupent en 

 ce point en leur milieu; ou si l'on veut : Que les quadrilatères ABCD 

 et H,, H/, H ( . H rf sont égaux et inversement homothétiques; le centre d'homo- 

 thétie étant l'anticentre. 



On sait que la droite de Simpson du point D par rapport au 

 triangle ABC, passe par le milieu de la droite DH rf ; c'est-à-dire par 

 le point m. 



Donc : Les droites de Simpson de chaque sommet relatives aux trois 

 autres sommets passent par V anticentre. 



La puissance du point w par rapport au cercle décrit sur AD comme 

 diamètre, a pour expression 



ta d — Dd = Où — Dd . 



Par rapport au cercle décrit sur BG comme diamètre, elle a pour 



expression Od ■ -Bb . Or, en désignant par R le rayon du cercle cir- 

 conscrit, on a 



R2 = 771 2 771' = 777i~ -+- dTi 1 . 



I >onc : Les axes radicaux des deux groupes de cercles qui ont pour dia- 

 mètres deux côtés opposés du quadrilatère, passent par l'anticentre. 



On démontrerait de même que : L'axe radical des cercles qui ont 

 pour diamètres les diagonales passent par l'anticentre. 



Désignons par a, le milieu do AH rf . Le cercle des neuf points du 

 triangD ABC a pour diamètre 6«i. La droite coâ, est égale et parallèle 

 à A d, c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à Od ou, ce qui revient au 

 même, à wè. L'angle 6woc, est droit, et le cercle des neufs points de ABC 

 passe en w. 



Donc : Les cercles des neuf points des quatre triangles formés par trois 

 sommets du quadrilatère, passent par l'anticentre. j 



On peut ajouter que le point oj est le centre- de l'hyperbole équilatère 

 qui passe par les points ABCD, hyperbole qui passe également par les 

 points H,,, H /( , H r , H (/ . 



