CH. HALPHEN. SUR UN PROBLEME I» ENUMERATION. 17 



Soient maintenant n — i points dans l'espace, et x n -t le nombre des 

 droites d'intersection deux à deux des plans déterminés par trois quel- 

 conques de ces n — i points, et ne passant par aucun d'entre eux. 

 Ajoutons un ri ème point m ; en lui associant deux points a et b pris parmi 

 les premiers, nous avons un nouveau plan mab coupant suivant une 

 droite, ne passant par aucun de ces n points, chacun des plans précé- 

 dents qui ne contiennent ni a, ni b. Ceux ci sont au nombre de 



C; 



( n — > ) ( n — 4) { 11 — 0) _ 

 h— 3 — ; : 5 > 



I .2.3 



comme il y a 



-. , 1 n — 1) ( n — 2 ) 



' -' n - 1 — ' ] 



manières différentes de déterminer le plan passant par m et deux dos n — i 

 premiers points, nous construisons 



1 11 — i)(n — 2 ) ( n — 3 ) ( n — [ ) ( n — 5 ) 

 •>..!. >. . 3 _ 



droites nouvelles; et si l'on considère les droites d'intersection de tous 

 les plans déterminés par trois points quelconques, pris parmi n points 

 donnés, droites ne passant par aucun de ces points, leur nombre est 



( 3) •'■„ = -Tn-l + -{il — i) (" 2 I (/«—•> » I n i t | // — ") I. 



Appliquons la formule à x n - U . . , 



x n -1 = •''/;-> -- — 7; ( n — >. )(n — î )(n — ( ) (n — 5 ) (n — 6 1 

 2 . > . > 



3"G = X s J . | . ..) . :> . I . 



2.?.. > 



L'on voit aisément que x s = o, car deux plans quelconques déterminés 

 par 3 des 5 points, ont toujours en commun l'un de ces points, parlequel 

 passe leur intersection. En ajoutant membre à membre, il vient 



' „ = 5-7 [' .a.3.4.5 -H.. .+ (« ■— 5)(« — 4)(/i-- 3) (n — 2) (n — 1)], 



ou, en appliquant la même formule de sommation que ci-dessus 

 t i ) ■''« = — n(n — 1) (n — a)'( n — 3 ) ( n — 4 ) i n — 5 ) — 1 o C); . 



On peut chercher, par la même méthode, le nombre des droites d'inter- 

 section de ces plans qui passent par l'un des points donnés, et un seul, a. 

 Soit £»_i ce nombre lorsqu'on se donne n — 1 points, de telle sorte qu'il 

 y a en tout {n — ■ i)i„-i droites d'intersection qui passent chacune par 



* *2 



