l6 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



M. Ch. HALPHEN, 



Professeur au collège Chaptal (Paris). 



SUR UN PROBLÈME D'ÉNUMÉRATION. 



M Mars. 



>I3.8l 



Dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, j'ai traité, cette 

 année, une question d'énumération que j'avais communiquée à la Société 

 Mathématique de France. M. Andoyer m'avait alors suggéré de reprendre 

 l'étude du problème par la méthode de récurrence. C'est l'objet de ce 

 qui suit. 



Soient d'abord n — i points d'un plan, et y„-x le nombre des points 

 d'intersection des droites qui les joignent deux à deux. Ajoutons un ri ëme 

 point m; une droite telle que ma, joignant m à l'un des n — i premiers 

 points, a, coupe chacune des droites précédentes, qui ne passent pas 



par a, en un point; ces droites sont au nombre de G«_ 2 = > 



2 



nombre de combinaisons de n — 2 points 2 à 2. Comme on peut joindre m 

 à chacun des n — 1 premiers points, on construit ainsi 



(n — 1) ( n — 2 ) ( n — 3 ) 

 2 



nouveaux points d'intersection. Si donc y H est le nombre des points d'in- 

 tersection des droites joignant deux à deux n points d'un plan, on a 



(1) y,i = 7n-i-+- \(n — i)(n — i)(n— 3). 



Appliquons la formule à y n -i, •••, 



yn-\~ y lt -i-+- -(/& — 2) (»— -3) (#1 — 4), 



y k = y, — - 3 . 2 . 1 , 



On voit immédiatement que y 3 = o, car la figure est un triangle. En 

 ajoutant membre à membre ces relations, il vient 



y n — - [1 .2.3 +. . .+ (n — 4)< n — 3 \(n — 2) + (n — 3)(#i— •>)(« — 1 1] 



ce qui fait, d'après une formule de sommation bien connue 



(2) y n = -n{n — i» (n — 2 11 n — 3) = >C*. 



