A. AUBRY. — NOTICE SUR L ARITHMETICIEN FRENICLE. II 



Frenicle des problèmes insolubles, comme de trouver un triangle dont 

 l'aire soit un carré, de résoudre x 3 + y 3 = z 3 et x* -\- y* = z'% avertissant 

 Mersenne que si Frenicle l'avisait qu'il n'y avait pas de solutions infé- 

 rieures à un nombre donné, c'était une preuve qu'il se servait de Tables 

 et non de raisonnements. 



C'est à Frenicle que Fermât a, peu après, fait connaître les premiers 

 théorèmes dont il lui avait parlé et qu'il destinait à abréger le calcul des 

 nombres parfaits, savoir : si a est composé, i a " x l'est également; si a est 

 premier i a ~ l — i est divisible par a et les diviseurs de i a — i sont de la 

 forme 2 ax + 1. C'est là l'origine du théorème de Fermât. 



Le théorème relatif à la forme quadratique des nombres premiers 4 + 1 

 et à leurs diviseurs a été trouvé par Fermât à la même époque, mais c'est 

 à Roberval qu'il l'a signalé d'abord. Il le démontrait par la descente 

 et le faisait servir à la factorisation des grands nombres. 



Toujours en 16/10, c'est à Frenicle que Fermât a fait connaître : i° son 

 théorème faux — que d'ailleurs Frenicle croyait vrai également, — pour 

 la démonstration duquel il avait fait un très grand nombre d'exclusions; 

 2 la célèbre proposition sur les propriétés du gaussien et qui porte le 

 nom de théorème de Fermai; 3° ses théorèmes sur le nombre des solutions 

 des équations 



a?2_4_^2 = p2/.-l et X *-¥'y % = pin Qt> = 4-Hl), 



ainsi que de 



(rt ! +4 J )/(c ! +^=a; 2 + j 



d'où il tirait ses fameux problèmes de déterminer les nombres qui sont 

 n fois hypoténuses, le plus petit nombre qui est n fois hypoténuse et le 

 nombre de manières dont un nombre peut être la somme des cathètes 

 d'un triangle. Frenicle y avait déjà pensé depuis plusieurs années et 

 avait commencé par la recherche des nombres à la fois triangulaires, 

 carrés et hexagonaux. 



Dans une lettre de 1641, Frenicle dit qu'il travaille depuis longtemps 

 aux triangles, et qu'il a remarqué qu'un nombre n'ayant que des facteurs 

 premiers 8 ± 1 est la différence des cathètes d'un triangle, que récipro- 

 quement la somme de deux cathètes est de la forme 8 ± 1 et, en même 

 temps, de la forme (*) x 2 — 2 y 2 . Il propose en outre la résolution de 

 x 2 -f- y 2 = p, et de montrer comment il se fait que par exemple la rela- 

 tion 221 = io 2 + 1 i 2 = 5 2 + i4 2 , entraine cette autre 221 = 13*17 (**). 



(*) Les côtés d'un triangle étant, comme on sait, des formes x~ — y" 1 , 1 xy et x--hy 2 , 

 la somme ou la différence des cathètes est de la forme (x' ! — y i )±2xy= (x±yY — 2 y-. 



(**) C'est là probablement le principe de sa méthode de factorisation, retrouvée 



f ■ 

 par Euler et qui peut s'énoncer ainsi : si n = a- -h b-= <x 2 -f- 'f-, et que— soit ta valeur 



de (a fraction réduite à sa plus simple expression, n est divisible par f--\- g 7 . 



Cette méthode serait ainsi celle à laquelle il est fait allusion dans les Mém. de l'Ac. 



