A. AUBRY. NOTICE SUR L ARITHMETICIEN FRENICLE. 9 



— qu'il y avait à rapprocher, étendre et généraliser une foule de théo- 

 rèmes et de problèmes arithmétiques épars et sans liens apparents entre 

 eux : il a ainsi abordé la théorie générale des nombres parfaits, à laquelle 

 il a apporté d'importantes contributions, et il en a tiré de nouveaux 

 résultats jusqu'alors insoupçonnés: — il a montré, par son fameux 

 énoncé relatif aux nombres dits de Mersenne (*), qu'il possédait de puis- 

 sants moyens d'investigation dans le domaine numérique, notamment 

 dans la recherche des diviseurs des grands nombres, recherche dont les 

 premiers aperçus lui sont dus; — il a envisagé, d'une manière générale, 

 la considération des formes linéaires ou quadratiques des nombres et la 

 recherche systématique des propriétés qu'ils doivent avoir selon la forme 

 qu'ils peuvent prendre : il a même donné une monographie de la théorie 

 des nombres en triangle (rectangle), c'est-à-dire de ceux qui sont soumis 

 à la loi représentée par la relation algébrique x' 2 + y 2 = £ 2 ; — on lui doit 

 une féconde théorie fort utile dans l'analyse indéterminée, celle qu'il a 

 appelée exclusion et qu'ont beaucoup étendue Fermât et Euler; — il a le 

 premier compris l'intérêt des théorèmes négatifs, ainsi que l'utilité de 

 la recherche des cas d'impossibilité des problèmes indéterminés et du 

 dénombrement des solutions quand elles existent, par exemple sur la 

 question des carrés magiques, où il a trouvé de nouvelles voies qui ont 

 suggéré à Fermât de nouvelles généralisations; — enfin il semble avoir, 

 avant Fermât, au moins entrevu la méthode de la descente et diverses 

 propositions négatives, telles que celle de l'impossibilité de la surface 

 d'un triangle d'être un carré. 



Il faut reconnaître qu'il ne donne guère que des problèmes et autant 

 dire pas de démonstrations suffisantes de ses théorèmes, même dans ses 

 écrits didactiques, ce qui empêche d'être assuré, sinon de la valeur, du 

 moins de la généralité de ses méthodes : pur arithméticien, son dédain 

 de l'algèbre spécieuse ne lui a pas permis d'exprimer ses idées aussi com- 

 plètement qu'il l'eût fallu pour qu'elles puissent servir de point de départ 

 aux nouvelles théories et même pour qu'il puisse en tirer tout le parti 

 qu'elles comportaient. Mais Fermât, moins réfractaire à l'emploi des 

 transformations algébriques et d'ailleurs encore autrement doué, comme 

 aptitude aux combinaisons numériques, eut tôt fait de remonter des 

 résultats communiqués par Frenicle aux principes dont ils émanaient. 



Deux sources peuvent être attribuées au mouvement arithmétique 

 qui s'est produit dans la première moitié du xvn e siècle, et s'est continué 

 si magnifiquement jusqu'à nos jours : les Eléments d'Euclide ou arithmé- 

 tique proprement dite, et les Arithmétiques, de Diophante, ou théorie 

 des formes. Ces deux théories en étaient restées à peu près en l'état où 

 les avaient laissés ces deux immortels auteurs, — dont le second était 

 même seulement connu des érudits, quand Bachet s'avisa d'en publier 

 une traduction latine (1620) dont il facilita l'introduction sur la scène 



(* ) Voir la fin de la présente Notice. 



