GASTON TARRY. NOTE SUR LES ANGLES HYPERBOLIQUES. 23 



De plus, le double de l'aire du triangle OCS ayant pour mesure sinli^3, il 

 est clair que le double de l'aire du triangle OAB est aussi égal à sinhjS. Ce 

 qui démontre le théorème suivant : 



A des angles hyperboliques de même argument correspondent^ quelles que 

 soient leurs positions, non seulement des secteurs hyperboliques équivalents, 

 mais encore des segments hyperboliques équivalents, et des triangles équi- 

 valents dont le double de Vaire est égal à sinhd. 



Ce théorème va nous permettre de trouver par la géométrie élémentaire 

 la valeur de sinh(a + j3). 



L'angle hyperbolique AOC ayant pour argument a + P, il en résulte 



aire i AOG = sinh(a -+- P). 



Désignons par E l'intersection de AG avec OS. On voit aisément que 

 le triangle AED est équivalent au triangle CE H. 



Si du triangle AOC nous retranchons le triangle AED et si, par com- 

 pensation, nous ajoutons le triangle équivalent CE H, nous aurons rem- 

 placé l'aire de ce triangle par la somme des aires des deux triangles OAD, 

 OHC, et nous aurons 



sinh(a~ p) = 20AG = 2 0AD — 2OHC. 



Or 2 OAD = sinhacosh[3 et 2 OHC = coshasinhj3. Donc 

 sinh(a -+- [ii) = sinh a cosli !i -t- cosh a sinh 3. 



Soit I le symétrique de C par rapport à OS. L'angle hyperbolique lOA 

 étant évidemment d'argument a — (3, le double de l'aire du triangle AOI 

 est égal à sinh (a — 13) et l'on a 



sinh(a — p) = •2A0I = 2AOD— jtOID- 2 AID. 



Remplaçons le triangle AID par le triangle équivalent IDH, il vient 



sinh(> — ,Ê) = 2A0D — 2OID — 2IDH = 2AOD — 2OIH, 

 sinh(a — P) = sinlia cosli p — cosha sinh [i. 



Pour arriver par la même méthode à trouver la valeur de cosh (a ±: ,3), 

 il faudra opérer sur des triangles dont le double de l'aire sera égal au 

 cosinus de l'argument de l'angle correspondant. 



Commençons par la formule de cosh (a ±: (3). 



Le double de l'aire du triangle OB' S est évidemment égal à cosh (a -f i^)- 

 D'autre part, les droites B'C et SA ayant leurs points milieux sur la droite 

 OM, le triangle OC A est équivalent au triangle OB' S et par suite 



cosh(a^ !3) = iOG'A. 



L'aire du triangle OC A est égale à l'aire du triangle OC H, augmentée 

 de l'aire du triangle OH A, puis diminuée de l'aire du triangle C AH ou du 

 triangle équivalent D'HA, D' étant la projection de C sur OS. D'où 



cosh(a Hr 3) = 20G'H -4- 2OIIA — aD'HA = 20C'H -¥- 20D'A, 

 cosh (a + P) = cosha cosli ^ -+- sinh a sinh p. 



