24 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. '- — MÉCAîSiQUE. 



Avant de poursuivre, j'attirerai l'attention sur une propriété importante. 



Soit A' le symétrique de A par rapport à l'asymptote voisine. Le double 

 de l'aire du triangle OSA, correspondant à un angle d'argument a et dont 

 un côté est le demi-axe transverse OS, est égal à sinh5<, puis le double 

 de l'aire du triangle OSA' est égal à cosha. Nous allons démontrer que 

 la même propriété s'étend au cas où l'angle hyperbolique occupe un 

 position quelconque par rapport à la direction origine OS. 



Considérons l'angle hyperbolique AOB d'argument jS. Son triangle 

 est OAB, dont le double de l'aire est égal à sinhjS. Nous disons que le 

 double de l'aire du triangle OAB', ou OA'B, est égal à coshjS. 



En effet, les droites AS et B'C ayant leurs points milieux sur la 

 droite OM, il est clair que les triangles OAB' et OSC sont équivalents. 

 Or le double de Faire du triangle OSC est égal à coshjS. Donc le double 

 de l'aire du triangle OAB' est aussi égal à coshf3. (c. q. f. d.). 



Soit r le symétrique de I par rapport à l'asymptote voisine. L'angle 

 hyperbolique lOA étant d'argument a — 13, en vertu de la proposition 

 précédente le double de l'aire du triangle OI'A est égal à cosh(a — 13), Ainsi 



co?h(a— ["i) = a or A, 



et r est aussi le symétrique de C par rapport à OS. 



L'aire du triangle OI'A est égale à l'aire du triangle 01' H, augmentée 

 de l'aire du triangle F HA ou de son équivalent D'HA, puis diminuée de 

 l'aire du triangle OHA. Nous avons donc 



cosliia — ^1 == aOriI^ v.D'HA— 2OHA = iOÎ'H— iOD'A, 

 cosh (a — 3 ) = cosha cosh 3 — sinha sinli [i. 



On remarque que, contrairement à ce qui a lieu pour les fonctions 

 circulaires, les signes se correspondent dans les deux membres pour le 

 cosinus hyperbolique d'une somme ou d'une différence. 



Si je m'étais conformé à l'usage, qui est de suivre pour l'exposition 

 la marche inverse de la découverte, il m'eût été facile de faire un exposé 

 plus logique, et même de simplifier quelques démonstrations. Ainsi, pour 

 trouver la formule du cosinus de la différence de deux angles quelconques, 

 j'aurais choisi pour ces angles a + [3 et [3, ce qui eût été plus expéditif. 

 C'est même ce que j'avais fait, lorsqu'au milieu de la démonstration j"ai 

 aperçu le théorème relatif à Paire de même mesure que le cosinus d'un 

 angle de position quelconque. Après réflexion, il m'a paru plus inté- 

 ressant de présenter les démonstrations dans l'ordre de leur apparition. 

 C'est ce qui justifie le décousu de cette Note. 



Des formules qui précédent on déduit immédiatement la suivante : 



(cosha -±1 sinha) (cosh [ï zb sinli Jî ) = coslifa ^ ^) — sinht a ~ jî), 



et, par voie de conséquence, la formule qui correspond à celle de Moivre, 

 mais où les imaginaires n'existent plus, 



(cosha ± sinha/" = cosh tntzn sinh mi.. 



