GASTON TARRY. — IsOTE SUR LES AxXGLES HYPERBOLIQUES. 2.5 



Pour en finir avec la trigonométrie hyperbolique, il nous reste à dire 

 quelques mots sur la tangente hyperbolique, définie comme le rapport 

 du sinus hyperbolique au cosinus hyperbolique. 



Des égalités 



sinli(a rz (i) 



tan2;h(a rr. 3) — , , r, - 



on déduit immédiatement 



sinh a sinli 3 



, , ,,. sinha cosli 3 -4- cosha sinh S cosha cosli 3 



lan"h( oc -- i/)^=- ' l ^^^ l_ 



" coslia cosli ^ -i- sinh oc sinh j3 sinh oc sinh[i 



et pareillement 



tanghToc — [5 ) = 



cosha cosh ^ 



tangh a -î- langh [ii 



I -f- tangha tangh[i 



tangha — tangh (3 



I — tangha langh jj 



Comme pour le cosinus hyperbolique de la somme et de la différence 

 de deux angles, les signes + et — se correspondent dans les deux membres. 



On trouvera dans les Comptes rendus de l'Association [Congrès de Paris, 

 1889) un mode de représentation de l'angle circulaire a + iSi. On y verra 

 que l'argument |3 de la partie imaginaire a été représenté par un angle 

 hyperbolique de même argument ^. 



Cette représentation géométrique est identique à celle donnée par 

 M. Marie, dans sa Théorie des jonctions des variables imaginaires, et en 

 désaccord avec celle de la i?é/o/"me carié^ie^i»? de M. Mouchot. Cependant, 

 M. Mouchot avait bien voulu reconnaître l'exactitude de ma représen- 

 tation. 



Ce rapprochement entre les angles circulaires et les angles hyperbo- 

 liques m'encourage à chercher d'autres correspondances. C'est pourquoi 

 je continue. 



Quelques théorèmes nouveaux. — - Nous allons nous attaquer à l'angle 

 hyperbohque imaginaire, en nous fiant hardiment à la méthode dite des 

 relations contingentes, c'est-à-dire au fond à l'analogie, à l'induction et 

 à l'intuition, qui peuvent nous tromper, mais qui conduisent parfois 

 à des découvertes qu'elles semblent prévoir. 



Dans le cercle deux rayons rectangulaires, qui sont deux rayons 



conjugués, déterminent un angle circula^ire réel égal à-* 



Par une hasardeuse analogie, nous dirons que dans la figure formée 

 par une hyperbole équilatère et sa conjuguée deux rayons symétriques 

 par rapport aux asymptotes, qui sont deux rayons conjugués, déterminent 



un angle hyperbolique imaginaire égal à — 



Nous donnerons à sinh — et cosh — les valeurs i et zéro trouvées 

 par l'analyse. 



