26 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. MÉCANIQUE. 



Enfin nous étendrons aux angles imaginaires les formules démontrées 

 seulement pour les angles réels. Nous aurons alors 



Tzi . ■ 1 • 3Trt . . 



smli — = i, sinhTTf = o, sinli = — i, smh'i.T.t = o = pinho, 



1 -À 



, TTt . 3 lit . 



cosa — = o, cosuTi; = — i, cosh = o, cosli>.iri = i = coslio, 



sinli I a H j = ?'cosha, 



cosh (ix-\ j =1 sinli a, 



tangh (an ) = — , 



sinh(a H- izi) = — sinh a, 

 cosh (a -i- -/) = — cosh a, 

 tangh(a -f- Tîj) = langha, 



sinh ( 7. H ) = — ?'cosha, 



On remarquera que les tangentes ont toujours des valeurs réelles, et 

 on en conjecturera que les théorèmes concernant les angles réels s'éten- 

 dront aux angles imaginaires, lorsque la démonstration sera basée sur les 

 propriétés des tangentes. Il y aura comme un enchevêtrement entre les 

 angles réels et les angles imaginaires. 



On remarquera encore que les angles B et + 2tui, ayant mêmes fonc- 

 tions hyperboliques, ne peuvent avoir qu'une même représentation 

 matérielle; ce qui tient à ce que les fonctions hyperboliques sont pério- 

 diques, et admettent pour période iTii. 



Reportons la vue sur notre figure. 



L'angle hyperbohque réel AOB est égal à |3, l'angle hyperbolique 



imaginaire BOB' est égal à —, et par suite l'angle AOB' est égal 



Si l'intuition ne nous trompe pas, le triangle AOB', correspondant à 

 l'angle hyperbohque imaginaire d'argument (3 + — , doit être la repré- 

 sentation idéale, mais fidèle, d'un triangle imaginaire dont le double de 



